奇偶性的概念[A级 基础巩固]1．函数f(x)＝－x的图像( )A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：选C ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A 因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．3．(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是( )A．f(x)＝(x－1)是偶函数B．f(x)＝是奇函数C．f(x)＝－x2＋是非奇非偶函数D．f(x)＝是奇函数解析：选BD 由≥0，即(x－1)(x＋1)≤0，x≠1，解得－1≤x<1，所以函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A错误；设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)，同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，故B正确；由x2－3≥0，解得x≥或x≤－，所以函数的定义域是(－∞，－]∪[，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)2＋＝－x2＋＝f(x)，所以函数是偶函数，故C错误；由即所以函数的定义域[－1，0)∪(0，1]，f(x)＝，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数是奇函数，故选B、D.6
4．已知奇函数y＝f(x)(x≠0)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则函数f(x－1)的图像为( )解析：选D 奇函数y＝f(x)(x≠0)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1.设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x－1，∴－f(x)＝－x－1，∴f(x)＝x＋1.综上可得，f(x)＝故f(x－1)＝其图像如图所示．即D选项满足条件，故选D.5．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选BC ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，故选项A错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，故D错误．故选B、C.6．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．解析：由f(x)在[0，6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，6
－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．答案：[－6，－3)∪(0，3)7．若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝，则常数m，n的值分别为________．解析：由已知得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，即＝－，∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.答案：0，08．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________．解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.答案：－219．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图像写出使f(x)＜0的x的取值集合．解：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．10．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．6
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．所以f(x)＝(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．[B级 综合运用]11．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是( )A.B．(－∞，0)∪C.∪D.解析：选C ∵f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，∴f(x)在(－3，0)上是增函数．f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，∵f(x)为偶函数，∴f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．又f(x)在[0，3)上为减函数，∴解得m∈∪，故选C.12．我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心为( )A．(－1，2)B．(－1，－2)C．(1，2)D．(1，－2)解析：选A 设(a，b)为f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心，则有y＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3＋3(x＋a)2－b为奇函数，6
设g(x)＝(x＋a)3＋3(x＋a)2－b，则g(x)为奇函数；g(x)＝x3＋3(a＋1)x2＋3(a2＋2a)x＋a3＋3a2－b，又g(－x)＋g(x)＝0，可得3(a＋1)x2＋a3＋3a2－b＝0，所以解得所以函数f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心的坐标为(－1，2)．故选A.13．给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域是R，值域是；②函数y＝f(x)是偶函数；③函数y＝f(x)是奇函数；④函数y＝f(x)在上是增函数．其中正确的命题是________(填序号)．解析：化简函数解析式可得f(x)＝x－{x}＝则函数f(x)的图像，如图：由图像可知①④正确．答案：①④14．已知函数f(x)＝是R上的偶函数．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．解：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，6
则f(－x)＝f(x)，即＝，解得m＝0.(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．理由如下：由(1)知f(x)＝，设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.因为x1<x2≤0，所以x2＋x1<0，x2－x1>0，(1＋x)(1＋x)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.[C级 拓展探究]15．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h(x)＝mx2＋(m＋n)x＋2n，那么称h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的函数．设f(x)＝x2＋x，g(x)＝x＋2，若h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的一个偶函数，且h(1)＝3，求函数h(x)．解：h(x)＝mf(x)＋ng(x)＝m(x2＋x)＋n(x＋2)＝mx2＋(m＋n)x＋2n；∵h(x)为偶函数，∴m＋n＝0，①又h(1)＝3，∴m＋m＋n＋2n＝3，②联立①②解得m＝－3，n＝3，∴h(x)＝－3x2＋6.6
