数列的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列数列中，既是递增数列，又是无穷数列的是( )A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，C [D是有穷数列，A、B是递减数列，故选C．]2．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图像表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．A．①② B．②③ C．③④ D．①④B [①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )A．70B．28C．20D．8C [由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20．]4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列A [an＝＝1－，当n≥2时，an－an－1＝1－－＝－＝>0，所以{an}是递增数列．]5．数列0.7，7.7，77.7，777.7，…的一个通项公式是an＝( )A．(10n－1)B．(10n－1)5
C．(10n－1)D．(10n－1)D [代入n＝1检验，排除A、B、C．]二、填空题6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，…． [由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为．]7．数列11，103，1005，10007，…的一个通项公式是__________．an＝10n＋2n－1 [a1＝10＋1＝101＋(2×1－1)，a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)，a3＝1000＋5＝103＋(2×3－1)，…所以an＝10n＋2n－1．]8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．2或6 [令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6．]三、解答题9．在数列{an}中，an＝．(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；(3)区间内有无此数列的项？若有，有几项？[解] (1)a7＝＝．(2)证明：因为an＝＝1－，0<<1，所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0，1)内．(3)由<<，得<n2<2，又n∈N＋，所以n＝1，即在区间内有且只有一项是a1．10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2．(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；5
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0；(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．[解] (1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，解得n＝10或n＝－9(舍去)，∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60．(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，即当n＝6时，an＝0．令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，解得－5<n<6．又n∈N＋，∴当n＝1，2，3，4，5时，an>0．(3)an＝30＋n－n2＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30．1．雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图：(2)，(3)，(4)是等边三角形(1)经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线)．若按照上述规律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是( )(1) (2) (3) (4)A． B． C． D．C [设雪花曲线的边长分别为a1，a2，a3，a4，a5，边数为b1，b2，b3，b4，b5，周长为Sn(n＝1，2，3，4，5)．a2＝a1×＝1，a3＝a2＝，a4＝a3＝，a5＝，b1＝3，b2＝3×4，b3＝3×4×4，b4＝3×4×4×4，b5＝3×4×4×4×4，5
S1＝9，S2＝12，S3＝16，S4＝，S5＝，故选C．]2．(多选题)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值可以为( )A．1B．2C．3D．4AB [an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可，故选AB．]3．已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则m＝________，a3＝________． 2 [∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1．又a＋2m＝2，∴m＝，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2．]4．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个．5n＋1 [各图中的化学键个数依次是6，6＋5，6＋5＋5，…．若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5，1＋5＋5，1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键5n＋1个．]已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝n2＋1(n∈N*)．(1)0.98是不是数列{an}中的一项？(2)判断数列{an}的单调性，并求最小项；(3)若cn＝lgan＋lgbn(n∈N*)，求满足cn>3最小的n的值．[解] (1)假设0.98是数列{an}中的一项，则有＝0.98，5
解得n2＝49，所以n＝7，因此，a7＝0.98，即0.98是数列{an}中的第七项．(2)an＝＝1－，对任意n∈N*，an＋1－an＝－＋＝>0，所以数列{an}是单调递增数列，最小项是第一项，a1＝．(3)cn＝lgan＋lgbn＝lg＋lg(n2＋1)＝lgn2，令cn>3得lgn2>3，即n2>103，因为312＝961，322＝1024，且n∈N*，∴满足cn>3最小的n的值为32．5
