求导法则及其应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．曲线f(x)＝2lnx在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )A．2x－ey＝0 B．2x＋ey＝0C．ex－2y＝0D．ex＋2y＝0A [曲线f(x)＝2lnx，f′(x)＝，切点为，所以切线l的斜率k＝f′(t)＝，又直线l过原点，所以k＝＝，得lnt＝1，t＝e．所以k＝，故切线l的方程为y－2＝(x－e)，即2x－ey＝0．故选A．]2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )A．B．C．D．A [f′(x)＝＝．]3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D．B [y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋．]5
4．函数f(x)＝x＋xlnx在(1，1)处的切线方程为( )A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝0B [∵f′(x)＝(x＋xlnx)′＝1＋x′lnx＋x(lnx)′＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，∴f′(1)＝2＋ln1＝2，∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．]5．下列求导运算正确的是( )A．＝＋B．(x2ex)′＝2xexC．(3xcos2x)′＝3x(ln3·cos2x－2sin2x)D．＝2＋C [＝－，A错误；(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，B错误；(3xcos2x)′＝(3x)′cos2x＋3x(cos2x)′＝3xln3cos2x－2·3xsin2x＝3x，C正确；＝，D错误．故选C．]二、填空题6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx．∴k＝1＋lnx0．又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e．∴y0＝elne＝e．∴点P的坐标是(e，e)．]7．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________．－ [∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，5
∴f′＝－cos－sin＝－．]8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________．2sin2x [∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x．]三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．[解] (1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)(－4x)＝．(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx．(3)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos．(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝＝．10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b．令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3．令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－．则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－．5
又f′(1)＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0．1．某港口在一天24h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h；0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin，则17点时潮水起落的速度是( )A．m/hB．m/hC．m/hD．m/hB [由题意，∵S(t)＝3sin，∴v＝S′(t)＝3cos×＝cos×，当t＝17时，速度v＝cos×＝×cos＝×cos＝×＝．故选B．]2．(多选题)下列导数运算正确的有( )A．＝B．(xex)′＝(x＋1)exC．(e2x)′＝2e2xD．(ln2x)′＝BC [对于A，＝(x－1)′＝－x－2＝－，故错误；对于B，(xex)′＝x′ex＋x(ex)′＝(x＋1)ex，故正确；对于C，(e2x)′＝(2x)′e2x＝2e2x，故正确；对于D，(ln2x)′＝(2x)′＝，故错误．故选BC．]3．曲线f(x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为__________．5x＋y－3＝0 [因为f′(x)＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以f′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0．]4．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数5
f′(1)＝________，其取值范围是________．2sin [，2] [f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin．∵θ∈，∴sin∈，∴2sin∈[，2]．]已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．[解] (1)f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1．(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－．∴a的取值范围为∪．5
