数列的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有( )A．300个 B．320个C．340个D．360个B [由题意，在等差数列{an}中，n＝16，a8＋a9＝40，则S16＝＝8(a8＋a9)＝8×40＝320．故选B．]2．某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是( )A．1.14aB．1.15aC．1.16aD．(1＋1.15)aB [去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a＋10%a，即a(1＋0.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a(1＋0.1)(1＋0.1)，依此类推，第五年是a(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)＝1.15a，故选B．]3．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款( )A．a(1＋x)5B．a(1＋x)6C．a(1＋x)4D．a(1＋x5)A [一年后，可取回款a(1＋x)，二年后，可取回款a(1＋x)2，三年后，可取回款a(1＋x)3，四年后，可取回款a(1＋x)4，五年后，可取回款a(1＋x)5，故选A．]4．某县2020年12月末人口总数为57万，假如从2021年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则2021年10月末的人口总数为( )A．57.1万B．57.2万C．57.22万D．57.23万B6
[根据题意，某县2020年12月末人口总数为57万，从2021年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d(单位为万)，又由到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02，2021年10月末的人口总数为即a11＝a1＋10d＝57.2．故选B．]5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )A． B． C．9 D．10B [根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{an}，又由她5天共织布5尺，则S5＝＝5，解可得a1＝，则a2＝a1×q＝×2＝，故选B．]二、填空题6．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2．过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________． [法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，则A5A6＝a7＝a1×q6＝2×＝．法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，∴An－1An＝an＋1＝sin·an＝an．6
所以{an}是以a1＝2为首项，为公比的等比数列，故a7＝a1×q6＝2×＝．]7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．7 [1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7，即至少需7秒细菌将病毒全部杀死．]8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．2046 [设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，∴a1＝2，an－an－1＝an，∴an＝2an－1．则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2046．]三、解答题9．小张在2020年初向建行贷款50万元购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)[解] 50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝·x，从而有50(1＋4%)10＝·x，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元．10．用分期付款方法购买电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花多少钱？[解] 购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列{an}，则6
a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝(60－0.5×1)(元)，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59＝(60－0.5×2)(元)，…，依次类推，a10＝50＋(1000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)，an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)．所以{an}组成以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以总数＝S20＋150＝20a1＋＋150＝1255(元)，所以第十个月该交55.5元，全部付清实际花1255元．1．若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a的值约为(最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1)．( )A．150 B．180 C．200 D．240C [依题意可知a＋a×50%＋a×(50%)2＋…＋a×(50%)10＝＝400，解得a≈200．]2．(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”，则下列说法正确的是( )A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍ABD [根据题意知，此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．∴S6＝＝＝378，解得a1＝192．∴a3＝a1q2＝192×＝48，∴A正确．由a1＝192，S6＝378，得a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，∴B正确．6
∵a2＝a1q＝192×＝96，S6＝94.5，∴a2>S6，∴C不正确．∵a1＋a2＋a3＝a1＝192×＝336，∴后3天走的路程为378－336＝42，而且42×8＝336，∴D正确．故选ABD．]3．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2000台，则a的最小值为________．74 [设B型健身器材这6个月投放量为{bn}，则bn是以b1＝64为首项，q＝的等比数列，q≠1，∴其前6项和为S6＝＝1330，∴5a＋300＋1330≥2000，解得a≥74，故a的最小值为74．]4．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是________．4039 [设每个30分钟进去的人数构成数列{an}，则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－(n－1)．设数列{an}的前n项和为Sn，依题意，只需求S11＝(2－0)＋(22－1)＋(23－2)＋…＋(211－10)＝(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋…＋10)＝－＝212－2－55＝212－57＝4039．]流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有86
670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．[解] 设从11月1日起第n(n∈N＋，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn＝20n＋·50＝25n2－5n．从第n＋1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差为－30，项数为(30－n)，(30－n)日的患者总人数为T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋(－30)＝(30－n)·(65n－495)＝－65n2＋2445n－14850．依题意，Sn＋T30－n＝8670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670．化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49．∵1≤n≤30．∴n＝12．第12日的新患者人数为20＋(12－1)·50＝570．∴11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为570人．6
