方程组的解集基础过关练题组一 方程组的解集 1.以方程组y-x=1,y+x=2的解为坐标的点(x,y)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.三元一次方程组x+y=1,y+z=5,z+x=6的解集是( )A.{(x,y,z)|(1,0,4)}B.{(x,y,z)|(1,2,4)}C.{(x,y,z)|(1,0,5)}D.{(x,y,z)|(4,1,0)}3.若方程4xm-n-5ym+n=6是二元一次方程,则m= , n= . 4.求下列方程组的解集.(1)3x-y+z=10,x+2y-z=6,x+y+2z=17; (2)x2-4y2=12,x+2y=6.5.已知x=3,y=-2是方程组x2+y2=m,x+y=n的一组解,求此方程组的另一组解.13
题组二 方程组在实际问题中的应用6.《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为( )A.y=5x+45y=7x+3B.y=5x-45y=7x+3C.y=5x+45y=7x-3D.y=5x-45y=7x-37.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲、乙、丙三人持钱,甲语乙、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分给我一半,我手上就有90钱).乙复语甲、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成七十.丙复语甲、乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上原有( )A.28钱B.32钱C.56钱D.70钱题组三 方程组的综合应用8.小亮解得方程组2x+y=●,2x-y=12的解集为{(x,y)|(5,★)},由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,请你帮他找回★这个数,★= . 9.若关于x,y的二元一次方程组3x-my=5,2x+ny=6的解集是{(x,y)|(1,2)},求关于a,b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5,2(a+b)+n(a-b)=6的解集.能力提升练一、单项选择题 13
1.()若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=1,y=kx-9有公共解,则实数k的值为( )A.3B.-3C.-4D.42.()如果x+2y-8z=0,2x-3y+5z=0,其中xyz≠0,那么x∶y∶z=( )A.1∶2∶3B.2∶3∶4C.2∶3∶1D.3∶2∶13.()若方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解集是{(x,y)|(3,4)},则方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解集是( )A.{(x,y)|(4,8)}B.{(x,y)|(9,12)}C.{(x,y)|(15,20)}D.(x,y)|95,85二、多项选择题4.()对于二元一次方程组的解x=-1,y=1用集合表示正确的为( )A.{(-1,1)}B.{-1,1}C.(-1,1)D.(x,y)x=-1y=15.()给出以下说法,其中正确的为( )A.关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c(c≠0)B.方程组xy+yz=63,xz+yz=23的正整数解有2组C.已知关于x,y的方程组x+3y=4-a,x-y=3a,其中-3≤a≤1,当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的一组解D.以方程组y-2x=2,2x+y=3的解为坐标的点(x,y)在第二象限三、填空题6.()如图所示是一个正方体的平面展开图,若该正方体相对的两个面上的代数式的值均相等,则z+y-x的值为 . 13
7.()一个三位数,十位、百位上的数字的和等于个位上的数字,十位上的数字的9倍比个位、百位上的数字的和小2,个位、十位、百位上的数字的和为12,则这个三位数是 . 8.()已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0(xyz≠0),则x2+y2+z2xy+yz+2xz= . 9.()已知x,y均为有理数,且x,y满足2x2+3y+2y=23-32,则x+y的值为 . 10.()关于x的方程x2-(p-1)x+q=0的解集为A,x2+(q-1)x+p=0的解集为B,已知A∩B={-2},则A∪B= . 四、解答题11.()在某市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起参观了禁毒教育基地.如图所示的是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生人数.12.()求方程组3x2+y+1x+y=2,6x2+y-1x+y=1的解集.13
13.()对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定:a bc d=ad-bc,根据这一规定,解答以下问题:若x,y同时满足x-y-65=13,34-yx=4,求x -y3 -2的值.14.()阅读材料:善于思考的小军在解方程组2x+5y=3,①4x+11y=5②时,采用了一种“整体代换”的方法:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5,③将方程①代入③得2×3+y=5,∴y=-1,将y=-1代入①得x=4,∴方程组的解为x=4,y=-1.请你解决以下问题:13
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5,9x-4y=19;(2)已知x,y满足方程组3x2-2xy+12y2=47,2x2+xy+8y2=36,求整式x2+4y2+xy的值.15.()某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗,能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2)如果工厂招聘n(0<n<10,n∈N*)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?13
16.(2020福建厦门第一中学高一上月考,)已知关于x,y的方程组3x-y=2a-5,x+2y=3a+3的解都为正数.(1)当a=2时,解此方程组;(2)求a的取值范围;(3)已知a+b=4,且b>0,z=2a-3b,求z的取值范围.答案全解全析第二章 等式与不等式13
2.1 等式2.1.3 方程组的解集基础过关练1.A2.C6.A7.B1.A 解方程组y-x=1,y+x=2得x=12,y=32,点12,32在第一象限.故选A.2.C ∵x+y=1,①y+z=5,②z+x=6,③∴①+②+③得2x+2y+2z=12,即x+y+z=6④,④-①得z=5,④-②得x=1,④-③得y=0.故选C.3.答案 1;0解析 由题意得m-n=1,m+n=1,解得m=1,n=0.4.解析 (1)3x-y+z=10,①x+2y-z=6,②x+y+2z=17,③①+②得4x+y=16,④②×2+③得3x+5y=29,⑤由④⑤组成方程组4x+y=16,3x+5y=29,解得x=3,y=4,将x=3,y=4代入③得z=5,∴方程组的解集为{(x,y,z)|(3,4,5)}.(2)x2-4y2=12,①x+2y=6,②由①得(x+2y)(x-2y)=12,③将②代入③得6(x-2y)=12,即x-2y=2,原方程组化为x-2y=2,x+2y=6,解得x=4,y=1,∴原方程组的解集是{(x,y)|(4,1)}.5.解析 将x=3,y=-2代入方程组x2+y2=m,x+y=n得m=13,n=1,即原方程组化为x2+y2=13,x+y=1,由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代入方程x2+y2=13可得y2-y-6=0,即(y-3)(y+2)=0,解得y=3或y=-2,13
将y=3代入x+y=1可得x=-2,所以方程组的另一组解为x=-2,y=3.6.A 根据“每人出5钱,还差45钱”得y=5x+45;根据“每人出7钱,还差3钱”得y=7x+3,联立得方程组.故选A.7.B 设甲、乙、丙原来分别有x钱,y钱,z钱,则x+y2+z2=90,x2+y+z2=70,x2+y2+z=56,解得x=72,y=32,z=4,故选B.8.答案 -2解析 把x=5代入2x-y=12,得2×5-y=12,解得y=-2,故★为-2.9.解析 观察两个方程组的结构特点,a+b相当于x,a-b相当于y,故由题意可得a+b=1,a-b=2,解得a=32,b=-12.所以二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5,2(a+b)+n(a-b)=6的解集是(a,b)|32,-12.能力提升练1.D2.C3.D4.AD5.BC一、单项选择题1.D 由题意得y=kx-9与二元一次方程组3x-y=7,2x+3y=1有公共解.解二元一次方程组3x-y=7,2x+3y=1得x=2,y=-1.将x=2,y=-1代入y=kx-9,解得k=4.故选D.2.C 已知x+2y-8z=0,①2x-3y+5z=0,②①×2-②得7y-21z=0,即y=3z,代入①可得x=8z-6z=2z,故x∶y∶z=2z∶3z∶z=2∶3∶1.故选C.3.D ∵方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解集是{(x,y)|(3,4)},∴9a1+8b1=5c1,9a2+8b2=5c2,两边都除以5得95a1+85b1=c1,95a2+85b2=c2,对照方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2,可得方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解集为(x,y)|95,85.故选D.13
二、多项选择题4.AD 方程组的解集为有序数对,列举法表示为{(-1,1)},描述法表示为(x,y)|x=-1y=1或{(x,y)|(-1,1)}.故选AD.5.BC 对于A,关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c(c≠0),故A说法不正确;对于B,方程组xy+yz=63,①xz+yz=23,②因为x,y,z是正整数,所以x+y≥2,又因为23只能分解为23×1,方程②即为(x+y)z=23,所以只能是z=1,x+y=23,将z=1代入原方程组可得xy+y=63,③x+y=23,④解得x=2,y=21或x=20,y=3,所以这个方程组的正整数解是(2,21,1),(20,3,1),故B说法正确;对于C,关于x,y的方程组x+3y=4-a,x-y=3a,其中-3≤a≤1,解得x=1+2a,y=1-a,则x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解,故C说法正确;对于D,解方程组y-2x=2,2x+y=3得x=14,y=52,点14,52在第一象限,故D说法不正确.故选BC.三、填空题6.答案 -3解析 由题意得x+y=4x-3①,z-1=7x+2y②,3x+2=5-6x③,由①得y=3x-3,由③得x=13,则y=-2,把x,y的值代入②得z=-23,则z+y-x=-23-2-13=-3.7.答案 516解析 设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,根据题意得y+z=x,①9y=x+z-2,②x+y+z=12,③将①代入③,得x=6,将x=6代入①,得y+z=6,④将x=6代入②,得9y=6+z-2,即9y-z=4,⑤由④+⑤解得y=1,代入④得z=5,则这个三位数为516.8.答案 1解析 由方程组3x-4y-z=0,2x+y-8z=0得x=3z,y=2z.13
∵xyz≠0,∴原式=(3z)2+(2z)2+z23z·2z+2z·z+2×3z·z=14z214z2=1.9.答案 1或-7解析 ∵x,y均为有理数,∴2y=-32,2x2+3y=23,解得x=4,y=-3或x=-4,y=-3.∴x+y=1或x+y=-7.10.答案 {-2,-1,1}解析 由A∩B={-2}可知-2∈A且-2∈B,则4+2(p-1)+q=0,4-2(q-1)+p=0,解得p=-2,q=2,所以方程x2-(p-1)x+q=0即为x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2,所以A={-1,-2},方程x2+(q-1)x+p=0即为x2+x-2=0,解得x3=1,x4=-2,所以B={1,-2},所以A∪B={-2,-1,1}.四、解答题11.解析 设小明班上参观禁毒教育基地的男生有x人,女生有y人,根据题意得x+y=55,x-1=1.5y+4,解得x=35,y=20.故小明班上参观禁毒教育基地的男生有35人,女生有20人.12.解析 设1x2+y=a,1x+y=b,则有3a+b=2,6a-b=1,解得a=13,b=1,所以1x2+y=13,1x+y=1,即x2+y=3,x+y=1.两式相减,得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.当x=-1时,y=1-(-1)=2;当x=2时,y=1-2=-1.因此,原方程组的解集为{(2,-1),(-1,2)}.13.解析 根据题意可知5x-6y=13,3x+4y=4,解得x=2,y=-12.当x=2,y=-12时,x -y3 -2=-2x+3y=-2×2+3×-12=-4-32=-112.14.解析 (1)由题知方程组为3x-2y=5,①9x-4y=19,②将方程②变形为9x-6y+2y=19,即3(3x-2y)+2y=19,③将方程①代入③得3×5+2y=19,解得y=2,将y=2代入①得x=3,13
故方程组的解为x=3,y=2.(2)由题知方程组为3x2-2xy+12y2=47,①2x2+xy+8y2=36,②由①得3(x2+4y2)=47+2xy,即x2+4y2=47+2xy3,③把方程③代入②得2×47+2xy3+xy=36,解得xy=2,将xy=2代入③得x2+4y2=17.故x2+4y2+xy=17+2=19.15.解析 (1)设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车,每名新工人每月可以安装y辆电动汽车,根据题意得x+2y=8,2x+3y=14,解得x=4,y=2.即每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车,每名新工人每月可以安装2辆电动汽车.(2)设抽调熟练工m人,m∈N*,由题意得12(4m+2n)=240,整理,得m=10-n2.∵0<n<10且m,n∈N*,∴m=1,n=8或m=2,n=6或m=3,n=4或m=4,n=2.综上所述,所有可能的招聘方案如下:①抽调熟练工1人时,需招聘新工人8人;②抽调熟练工2人时,需招聘新工人6人;③抽调熟练工3人时,需招聘新工人4人;④抽调熟练工4人时,需招聘新工人2人.16.解析 (1)当a=2时,方程组为3x-y=-1,①x+2y=9,②①×2+②,得7x=7,即x=1,把x=1代入①,得3-y=-1,即y=4,∴此方程组的解集为{(1,4)}.(2)解这个方程组得x=a-1,y=a+2.由题意得a-1>0,a+2>0,解得a>1,∴a的取值范围为{a|a>1}.(3)∵a+b=4,b>0,13
∴b=4-a>0,∴a<4,由(2)知a>1,∴1<a<4,又z=2a-3b=2a-3(4-a)=5a-12,∴-7<z<8.∴z的取值范围为{z|-7<z<8}.13
