函数的应用(一)数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点基础过关练题组一 一次函数模型 1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋时常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243从上述表格可以推算出,“30号”的童鞋对应的脚的长度是( )A.150mmB.200mmC.180mmD.210mm2.从装满20L纯酒精的容器中倒出1L酒精,然后用水加满并摇匀,再倒出1L酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k次时共倒出纯酒精xL,倒第(k+1)次时共倒出纯酒精f(x)L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1B.f(x)=120x+1C.f(x)=1920(x+1)D.f(x)=120x3.某航空公司规定,乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)的关系由如图所示的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为 . 4.某市有A,B两家乒乓球俱乐部,两家的设备和服务都很好,但收费标准不同.A俱乐部每张球台每小时5元;B俱乐部按月收费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在A俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在B俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x)的解析式;(2)选择哪家俱乐部比较划算?为什么?15
题组二 二次函数模型5.(2021四川泸州泸县第五中学高一上第一次月考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件的生产成本(万元)为f(x)=12x2+2x+20,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-生产成本),该企业一个月应生产该商品 ( )A.9万件B.18万件C.22万件D.36万件6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形相邻两边长x,y(y≥8)应为( )A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=147.如图,一个小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1m,皮球经过路线的最高点为B(8,9),落地点记为C,那么这个函数的解析式为 ,小孩将球大约抛出了 m(精确到0.1m). 15
8.(2021北京东直门中学高一月考)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米,为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米,PN=y米.(1)写出y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;(2)求矩形BNPM面积的最大值.题组三 分段函数模型9.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x<a,ca,x≥a(a,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,则c和a的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,144D.60,1610.如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点.当点P沿路线A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图像大致是( )15
11.(2021安徽铜陵高一上月考)暑假期间,某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营,推出如下收费标准:若夏令营人数不超过30,则每位同学交费600元;若夏令营人数超过30,则每多1人,每人少交10元(即人数为31时,每人交费590元,人数为32时,每人交费580元,以此类推),直到达到70人为止.(1)写出夏令营每位同学需交费用y(单位:元)与夏令营人数x之间的函数关系式;(2)当夏令营人数为多少时,旅行社可以获得最大收入?最大收入是多少?题组四 均值不等式与函数模型的综合应用12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产该产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本);销售收入R(x)(万元)满足:15
R(x)=-0.4x2+4.2x-0.8,0≤x≤5,10.2,x>5.(1)要使工厂盈利,产量x应控制在什么范围内?(2)当工厂生产多少台产品时,可盈利最多?13.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,求x的值.14.某森林出现火灾,火势正以100m2/min的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防队员前去,在火灾发生5min后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林的损失费为60元,则应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?15
15.(2020上海浦东新区高三下教学质量检测)某企业准备投产一款产品,在前期的市场调研中发现:①需花费180万元用于引进一条生产流水线;②每台生产成本Q(x)(万元)和产量x(台)之间近似满足Q(x)=5+135x+1,x∈N*;(注每台生产成本Q(x)(万元)不包括引进生产流水线的费用)③每台产品的市场售价为10万元;④每年最高产量可达到100台.(1)若要保证投产这款产品后,一年内实现盈利,则至少需要生产多少台这款产品?(假设生产的产品能全部售出)(2)由于新冠肺炎疫情,这款产品第一年只能售出60台,而如果生产出来的产品没有在当年销售出去,造成积压,那么积压的产品每台将亏损1万元,试判断该企业能否在投产第一年实现盈利.若可以实现盈利,则求出利润最大时的产量;若不能实现盈利,则说明理由.能力提升练一、单项选择题1.(2019湖北宜昌一中高一上期中,)如图所示,有一直角墙角,两边的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a≤12),4m,不考虑树的粗细,现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为Sm2,若将这棵树围在花圃内,则函数S=f(a)的图像大致是( )15
2.()某物体一天中的温度T是关于时间t的函数:T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,t=0表示中午12∶00,其前t值为负,其后t值为正,则上午8时的温度是( ) A.8℃B.112℃C.58℃D.18℃3.()拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数f(m)=3.71,0<m≤4,1.06×(0.5<m>+1),m>4表示,其中<m>是不小于m的最小整数,例如<2>=2,<1.21>=2,则从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为( )A.3.71元B.4.24元C.4.7元D.7.95元二、多项选择题4.()在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.给出下列说法,其中正确的是( )A.前5min温度增加的速度越来越快B.前5min温度增加的速度越来越慢C.5min以后温度保持匀速增加D.5min以后温度保持不变5.()某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费);超过3千米但不超过8千米时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8千米时,超过部分按每千米2.85元收费.另外每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )A.出租车行驶2千米,乘客需付费8元B.出租车行驶4千米,乘客需付费9.6元15
C.出租车行驶10千米,乘客需付费25.45元D.某人两次乘出租车均行驶5千米的费用之和超过他一次乘出租车行驶10千米的费用三、填空题6.(2020天津耀华中学高一上期中,)某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,若日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为 元. 四、解答题7.(2021江西吉安三中、安福二中高一10月联考,)共享单车是“城市慢行系统”的一种创新模式,对于解决出行“最后一公里”的问题特别有效,由于停取方便、租用价格低廉,共享单车受到人们的喜爱.某自行车厂为共享单车公司生产新样式单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益h(x)(单位:元)满足h(x)=400x-12x2,0<x≤400,80000,x>400,x∈N*,其中x(单位:辆)是新样式单车的月产量.(1)试将利润y(单位:元)表示为月产量x的函数(利润=总收益-总成本);(2)当月产量为多少件时,自行车厂的利润最大?最大利润是多少?8.(2021山西太原外国语学校高一上月考,)如图,某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000平方米,人行道的宽分别为4米和10米,设休闲区的长A1B1为x米(x>0).(1)求矩形公园ABCD所占面积S(单位:平方米)关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米?15
9.()食品安全问题越来越受到人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成危害.为了让消费者吃到放心的蔬菜,某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每年投入200万元种植蔬菜,且每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验发现,种西红柿的年收入P(万元)、种黄瓜的年收入Q(万元)与投入资金a(万元)分别满足关系式:P=80+42a,Q=14a+120.设甲大棚的投入资金为x万元,每年两个大棚的总收入为f(x)(万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收入最大?10.()通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生掌握和接受概念的能力依赖于老师引入和讲授概念所用的时间,刚开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持理想状态,随后学生的注意力开始分散.用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x表示老师引入和讲授概念所用的时间(单位:分钟),分析结果和试验表明,f(x)和x满足以下关系式:f(x)=-0.1x2+2.6x+43,0<x≤10,59,10<x≤16,-3x+107,16<x≤30.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一个数学难题,需要不低于55的接受能力以及13分钟的时间,老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这个难题?并说明理由.15
答案全解全析第三章 函数3.3 函数的应用(一)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点基础过关练1.B2.A5.B6.A9.C10.A1.B 设脚的长度为ymm,对应的鞋码为x码,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=5×30+50=200(mm).故选B.2.A 因为倒第k次时共倒出纯酒精xL,所以第k次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x20L,所以f(x)=x+20-x20=1920x+1.3.答案 19kg解析 由题图知函数的图像是直线的一部分,设函数为y=kx+b(k≠0),将点(30,330),(40,630)代入得30k+b=330,40k+b=630,解得k=30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0,得x=19.故乘客可免费携带行李的最大质量为19kg.4.解析 (1)由题意可得f(x)=5x(15≤x≤40).当15≤x≤30时,g(x)=90,当30<x≤40时,g(x)=90+(x-30)×2=2x+30,所以g(x)=90,15≤x≤30,2x+30,30<x≤40.(2)当15≤x<18时,75≤f(x)<90,g(x)=90,所以f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x)=90;当18<x≤30时,g(x)=90,而f(x)=5x>5×18=90,所以f(x)>g(x);当30<x≤40时,g(x)=2x+30≤2×40+30=110,而f(x)=5x>5×30=150,所以f(x)>g(x).15
综上,当15≤x<18时,选择A俱乐部比较划算;当x=18时,两家都可以;当18<x≤40时,选择B俱乐部比较划算.5.B 由题意可得,该企业一个月的收入是20x万元,生产成本是12x2+2x+20万元,所以利润M=20x-12x2+2x+20=-12x2+18x-20=-12(x-18)2+142,当且仅当x=18时,M取得最大值.6.A 当8≤y<24时,易得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),所以矩形面积S=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.故选A.7.答案 y=-18x2+2x+1;16.5解析 设y=a(x-8)2+9(a≠0),将点A(0,1)代入,解得a=-18,所以y=-18(x-8)2+9=-18x2+2x+1,令y=0,得y=-18(x-8)2+9=0,解得x=8+62(负值舍去),所以点C的坐标为(8+62,0),所以OC=8+62≈16.5(m).8.解析 (1)如图所示,延长NP,交AF于点Q,则PQ=(8-y)米,EQ=4-(8-x)=(x-4)米,其中4≤x≤8,在△EDF中,EQPQ=EFFD,即x-48-y=48-6,所以y=-12x+10,其中x∈[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S(x)平方米,则S(x)=xy=x-12x+10=-12(x-10)2+50,x∈[4,8],根据二次函数的性质可知当x∈[4,8]时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM的面积最大,最大值为48平方米.故矩形BNPM面积的最大值为48平方米.15
9.C 显然a>4,则由题意可得c4=30,ca=5,解得c=60,a=144,故选C.10.A 由题意得,当0<x≤1时,S△APM=12×1×x=12x;当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=12×1+12×1-12×1×(x-1)-12×12×(2-x)=-14x+34;当2<x<52时,S△APM=12×52-x×1=-12x+54.结合各选项可知选A.11.解析 (1)由题意可知y=600,1≤x≤30,x∈N*,-10x+900,30<x≤70,x∈N*.(2)设旅行社收入为f(x)(单位:元),则f(x)=xy=600x,1≤x≤30,x∈N*,-10x2+900x,30<x≤70,x∈N*.当1≤x≤30,x∈N*时,f(x)为增函数,所以f(x)max=f(30)=600×30=18000,当30<x≤70,x∈N*时,f(x)为二次函数,且其图像开口向下,对称轴为直线x=45,所以f(x)max=f(45)=20250.因为20250>18000,所以当夏令营人数为45时,旅行社可以获得最大收入,最大收入为20250元.12.解析 依题意,G(x)=x+2.设利润为f(x)(万元),则f(x)=-0.4x2+3.2x-2.8,0≤x≤5,8.2-x,x>5.(1)要使工厂盈利,则f(x)>0,当0≤x≤5时,解不等式-0.4x2+3.2x-2.8>0,即x2-8x+7<0,得1<x<7,∴1<x≤5.当x>5时,解不等式8.2-x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.综上所述,要使工厂盈利,x应满足1<x<8.2,即产品产量应控制在大于100台,小于820台的范围内.(2)当0≤x≤5时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,故当x=4时,f(x)有最大值,最大值为3.6,当x>5时,f(x)<8.2-5=3.2<3.6.∴当工厂生产400台产品时,可盈利最多.13.解析 设总费用为y万元,则y=600x×6+4x=4x+900x≥4×2x·900x=240,当且仅当x=900x,即x=30时,等号成立,此时y的值最小.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,x的值为30.15
14.解析 设派x(x∈N*)名消防队员前去救火,用tmin将火扑灭,总损失为y元,则t=5×10050x-100=10x-2(x>2),y=125tx+100x+60(500+100t)=125x·10x-2+100x+30000+60000x-2=1250·x-2+2x-2+100(x-2+2)+30000+60000x-2=31450+100(x-2)+62500x-2≥31450+2100×62500=36450,当且仅当100(x-2)=62500x-2,即x=27(负值舍去)时,y有最小值,最小值为36450.所以应该派27名消防队员前去救火,才能使总损失最少.15.解析 (1)由题意可知该商品的利润函数为f(x)=[10-Q(x)]·x-180,0<x≤100,x∈N*,则由[10-Q(x)]·x-180>00<x≤100,x∈N*,解得x≥63.∴至少生产并销售63台这款产品,才能实现盈利.(2)由(1)可知,当产量0<x≤60,x∈N*时,无法实现盈利;当产量60<x≤100,x∈N*时,由题意可知利润函数为f(x)=[10-Q(x)]·60-(x-60)-180.化简得f(x)=181-135x+1·60+(x+1)≤180-2135×60=1.当且仅当x=89时等号成立.∴可以实现盈利,利润最大时,产量为89台.能力提升练1.C2.A3.B4.BD5.CD一、单项选择题1.C 设BC=xm,则花圃的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a≤x≤12.当0<a≤8时,花圃面积的最大值S=64,S为定值;当8<a≤12时,花圃面积的最大值逐渐变小,且S<64.观察各选项知选C.2.A 求上午8时的温度,即求t=-4时的函数值,所以T(-4)=(-4)3-3×(-4)+60=8.故选A.3.B 由<m>是不小于m的最小整数可得<5.5>=6,所以f(5.5)=1.06×(0.5×<5.5>+1)=1.06×4=4.24.故选B.二、多项选择题4.BD 温度y关于时间t的图像是先凸后平,即前5min每当t增加一个单位增量Δt,y相应的增量Δy越来越小,而5min以后y关于t的增量保持为0,即温度保持不变,则B,D正确.5.CD 在A中,出租车行驶2千米,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶4千米,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),B错误;在C中,出租车行驶10千米,乘客需付费15
8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),C正确;在D中,乘出租车行驶5千米,乘客需付费8+2×2.15+1=13.3(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,D正确.故选CD.三、填空题6.答案 10解析 设该桶装水经营部的利润为f(x)元,则f(x)=xy-420-5y=-30x2+600x-2670=-30(x-10)2+330,所以当x=10时,f(x)取得最大值330,即该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为10元.四、解答题7.解析 (1)依题意知总成本为(20000+100x)元,则y=-12x2+300x-20000,0<x≤400,x∈N*60000-100x,x>400,(2)当0<x≤400,x∈N*时,y=-12x2+300x-20000=-12(x-300)2+25000,故当x=300时,ymax=25000;当x>400,x∈N*时,y=60000-100x是减函数,故y<60000-100×400=20000.因为25000>20000,所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元.8.解析 (1)因为休闲区的长A1B1为x米,面积为1000平方米,所以休闲区的宽B1C1为1000x米,所以矩形公园ABCD的长与宽分别为(x+20)米,1000x+8米,因此矩形公园ABCD所占面积S=(x+20)1000x+8=1160+20000x+8x(x>0).(2)S=1160+20000x+8x≥1160+220000x·8x=1960,当且仅当20000x=8x,即x=50(负值舍去)时取等号,此时1000x=20,因此要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为50米,20米.9.解析 (1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,则f(50)=80+42×50+14×150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,由题意得x≥20,200-x≥20,即20≤x≤180,故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180).令t=x,则x=t2,t∈[25,65],故y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,15
当t=82,即x=128时,f(x)max=282.所以当甲大棚的投入资金为128万元,乙大棚的投入资金为72万元时,总收入最大.10.解析 (1)当0<x≤10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,故f(x)在0<x≤10时单调递增,最大值为f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59;当10<x≤16时,f(x)=59;当x>16时,f(x)为减函数,所以f(x)<-3×16+107=59.因此开讲10分钟后,学生达到最强接受能力59,能维持6分钟时间.(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)不能.理由如下:当0<x≤10时,令f(x)=55,即-0.1x2+2.6x+43=55,解得x=6或x=20(舍去);当x>16时,令f(x)=55,即-3x+107=55,解得x=523.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为523-6=343分钟<13分钟,所以老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这个难题.15
