2019-2020学年浙江省杭州市西湖区某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是，则它的侧面积是（）A.B.C.D.2.若直线与平面相交，则（）A.内所有直线与异面B.内只存在有限条直线与共面C.内存在唯一的直线与平行D.内存在无数条直线与垂直3.已知，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若，异面，，，，，则C.若㌠，，㌠，则D.若㌠，〹＝，㌠，则㌠4.如图，三棱柱ܤܥെܤെെ中，侧面ܤെܤെെ的面积是，点െ到侧面ܤെܤെ的距离是，则三棱柱ܤܥെܤെെ的体积为（）A.B.C.D.无法确定5.四面体ܤ中，ܤ＝＝，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）A.B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A.B.C.D.7.在长方体ܤܥܤ中，，分别是棱ܤܤ，ܤ的中点，若在以为直径的圆上，则异面直线与所成的角为（）试卷第1页，总9页,A.B.C.D.随长方体的形状变化而变化8.一封闭的正方体容器ܤܥܤ，，，分别为，ܤܤ，ܤ的中点，如图所示．由于某种原因，在，，处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A.B.C.D.9.已知＝sinicosi，＝sinicosi，＝cosisini，＝sinicosi，则，，，的大小关系为（）A.൏൏൏B.൏൏൏C.൏൏൏D.൏൏൏10.已知集合＝㤵㐠㤵ܥ㤵ܥ，ܤ＝㤵㐠㤵ܥ㤵，若，且〹ܤ中恰好有两个整数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)11.棱长为的正四面体ܤ中，，分别为棱，ܤ的中点，则异面直线与ܤ所成的角大小是________，线段的长度为________．12.二面角ܥܥ的大小是，线段ܤ，ܤ，ܤ与所成的角为，则ܤ与平面所成的角的余弦值是________．13.正三棱锥的高为，底面边长为，则它体积为________；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为________．ܥ㤵14.若㤵ܥ㤵为奇函数，则＝________，此时，不等式ܥ㤵㤵㤵൏的解集为________．15.在长方体ܤܥܤ中，是对角线上一点，是底面ܤ上一点．若ܤ＝，ܤ＝，则ܤ的最小值为________．16.在棱长为的正方体ܤܥܤ中，为的中点，，是正方体表面上相异两点，满足ܤ㌠，ܤ㌠．（1）若，均在平面ܤ内，则与ܤ的位置关系是________；（2）㐠㐠的最小值为________．试卷第2页，总9页,㤵㤵ܥ17.若不等式ݐܥܥሻ•log对任意的正整数㤵恒成立（其中，且ݐ），则ݐ________是围范值取的ݐ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.在ܤ中，角，ܤ，的对边分别为，，．（1）若cos，且ܤ，求ܤ的面积；ܤܤ（2）设向量㤵sin，cosܤcos，且㤵，＝，求的取值范围．19.如图，在四棱锥ܥܤ的底面ܤ中，ܤ，且＝ܤ，，分别为，中点．（1）设平面ܤ〹平面＝，请作图确定的位置并说明你的理由；（2）若为直线上任意一点，证明：平面ܤ．20.已知数列的前项和满足ܥN，且．证明：数列为等差数列，并求其通项公式；设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．21.对于函数㤵，若存在实数对，使得等式㤵ܥ㤵＝对定义域中的每一个㤵都成立，则称函数㤵是“型函数”．（1）判断函数㤵㤵是否为“型函数”，并说明理由；（2）①若函数㤵是“型函数”，已知＝，求；②若函数㤵是“型函数”，且当㤵ሻ时，㤵＝㤵ܥ㤵ܥ，若当㤵ሻ时，都有㤵成立，试求的取值范围．22.如图，在等腰三角形ܤ中，ܤ＝，，为线段ܤ的中点，为线段ܤ上一点，且ܤ＝ܤ，沿直线将翻折至െ，使െ㌠ܤ，记二面角െܥܥܤ的平面角为．（1）证明：平面െ㌠平面ܤ；（2）比较െܤ与的大小，并证明你的结论；试卷第3页，总9页,（3）求cos的值．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州市西湖区某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.C8.C9.A10.A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.,12.13.,ܥ14.,ܥ15.．16.平行17.ݐ三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.由ܤ，得cos．又因为cos，所以．cos又为ܤ的内角，所以sin．试卷第5页，总9页,所以ܤ的面积sin＝．ܤܤ因为㤵，所以sincoscosܤ，即sinܤcosܤ．因为cosܤ，所以tanܤ．因为ܤ为三角形的内角，൏ܤ൏，所以ܤ．sinsin由正弦定理，所以，，sinsinsinܤ所以sinsin，又，所以sinܥsinሻcossin＝sin，又൏൏，所以൏൏，所以ሻ．19.分别延长ܤ和交于点，连接，则直线就是的位置；ܤ平面ܤ，平面，所以、是平面ܤ和平面的两个公共点，由公理可知，过、的直线就是两个平面的交线．证明：连接、，因为ܤ，且ܤ，又，所以ܤ，且ܤ＝，所以四边形ܤ为平行四边形，所以ܤ，则平面ܤ；又为的中位线，则，所以平面ܤ，又平面，平面，且〹＝，所以平面ܤ平面，又平面，所以平面ܤ．20.证明：当时，ܥܥܥܥܥ，又ܥ，相减可得ܥܥܥܥ，当时，ܥܥܥܥܥ，所以ܥܥܥܥܥܥܥܥܥ，可得ܥܥ，所以为等差数列.又ܥ，且，解得.试卷第6页，总9页,又，所以是公差为的等差数列，.解：ܥܥ，所以ܥܥܥܥܥ.要使成立，即ܥ，解得.又，所以最小正整数的值为.21.㤵ܥ㤵ܥ㤵，则㤵＝ܥ不可能恒成立，所以㤵＝㤵不是““型函数”；①由题意，㤵ܥ㤵＝，取㤵＝，则＝，又＝，所以＝．②方法一：∵㤵ܥ㤵＝，所以㤵ܥ㤵＝．当㤵ሻ时，ܥ㤵ሻ时，ܥ㤵．㤵㤵ܥ㤵ܥ㤵ܥ㤵当൏൏时，൏൏，则㤵在ሻ内先减后增，且㤵，ܥ即ܥ㤵，则当㤵ሻ时，㤵．ܥܥ所以当㤵ሻ时，ܥ㤵，由题意，，解得ܥܥ，所以൏൏．当൏时，൏，则㤵在ሻሻ内先减后增，且㤵，即ܥ㤵，则当㤵ሻ时，㤵ܥ．要满足题意，则应满足，且ܥ试卷第7页，总9页,解得，所以൏．ܥ当时，，则㤵在ሻ内递减，且㤵，即㤵，则当㤵ሻ时，㤵．此时，㤵min，㤵min＝．要满足条件，则应，解得，所以．综上所述，൏．方法二：当㤵ሻ时，都有㤵成立，所以当㤵ሻ时，㤵；当㤵ሻ时，ܥ㤵ሻ时，所以ܥ㤵ሻ，而㤵ܥ㤵＝，所以，即㤵，㤵所以问题转化为当㤵ሻ时，㤵即可．当㤵ሻ时，㤵＝㤵ܥ㤵ܥ，．（1）当൏൏，即൏൏时，ܥ，解得，所以൏൏；（2）当，即时，只要解得，所以൏；综上所述，൏．22.证明：∵㌠ܤ，ܤ㌠െ，〹െ＝，∴ܤ㌠平面െ，∵ܤ平面ܤ，∴平面െ㌠平面ܤ．如图，在െ所在平面内，过点െ作െ㌠，垂足为，则െ㌠平面ܤ，过作㌠，连接െ，则െ㌠，െ＝．又െ是由翻折得到，∴െ＝＝െ，且െ就是直线െ与平面ܤ所成的角．同理，又െ是由翻折得到，∴െܤ＝െ．由线面角的最小性可知，െെ，∴െܤ．如图，在െ中，过点െ作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为．平面െ㌠平面ܤ，交线为，െ㌠平面ܤ，又㌠，∴㌠．∴െ就是二面角െܥܥܤ的平面角．设ܤ＝＝ܤ＝，则ܤ＝＝，＝ܥ，＝ܥ＝െ，在直角െ中，െ＝െܥ＝ܥ．试卷第8页，总9页,试卷第9页，总9页
