2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1.方程푥+1)+푥1)+1表示的曲线是（）A.一条射线B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支12.设푥，则“푥‴1”是“1”的（）푥A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这句诗中，哪句可作为命题（）A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思4.已知，表示两条不同直线，，表示两个不同的平面，以下能判定的是（）A.且B.且C.且D.且5.在空间直角坐标系푥中，为坐标原点，若点1)在平面푥上的投影为点，则线段的长度为（）A.B.1C.1D.16.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若，则”的否命题为“若，则”B.命题“函数푥)＝1)푥是上的增函数”的否定是“函数푥)＝1)푥是上的减函数”C.命题“在䁨中，若sin＝sin，则＝”的逆否命题为真命题D.命题“若푥＝，则푥푥+＝”的逆命题为真命题7.已知正方体䁨ܥ11䁨1ܥ1，点为平面䁨䁨11的中心，则直线ܥ与平面䁨ܥ1所成角的余弦值为（）11A.B.C.D.푥8.设双曲线1‴‴)的上焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若+，+)，则双曲线的离心率的值是（）A.B.C.D.9.设抛物线＝푥的焦点为，经过定点)‴)的直线与抛物线交于，试卷第1页，总9页,两点，且，+＝，则＝（）A.1B.C.D.10.四棱锥䁨ܥ中，已知ܥܥ，＝ܥ＝，＝，䁨＝1，则的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分)11.双曲线푥1的渐近线方程为________，焦点坐标为________．12.已知11)，+1)．若，则＝________；若，则+＝________．13.已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量+，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为1)，在基底+，，下的坐标为푥)，则푥＝________，＝________．14.若动点到点1)的距离比它到直线＝的距离少1，则动点的轨迹䁨的方程为________，若过点1)作该曲线䁨的切线，则切线的方程为________．15.在四面体䁨ܥ中，ܥ和䁨ܥ均为等边三角形，＝，䁨，则二面角ܥ䁨的余弦值为________．16.四边形䁨ܥ的各个顶点依次位于抛物线＝푥上，ܥ＝，对角线䁨平行푥轴，且䁨平分ܥ，若ܥ，则䁨ܥ的面积为________．푥17.已知椭圆+1‴‴)，点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，直线与圆䁨푥+＝相离，其中是椭圆的半焦距，是直线上一动点，过点作圆䁨的两条切线，切点分别为，，若存在点使得是等腰直角三1角形，则椭圆离心率平方的取值范围是________，）．三、解答题：5小题，共74分)18.已知‴，且1．命题：函数푥)＝log푥在+)上为增函数；命题：函数푥)＝푥푥+有零点．（1）若命题，满足真假，求实数的取值范围；（2）命题：函数＝（푥)）在区间+)上值恒为正数．若命题为真命题，求实数的取值范围．19.如图，在四棱锥䁨ܥ中，四边形䁨ܥ是菱形，，ܥ＝．试卷第2页，总9页,（1）若点，分别为线段ܥ，䁨上的中点，求证：平面；（2）若平面ܥ平面䁨ܥ，且ܥ，ܥ＝，求平面与平面䁨所成的锐二面角的余弦值．푥20.如图，已知椭圆䁨+1，过动点)的直线交푥轴于点，交椭圆䁨于，（其中在第一象限，在椭圆内），且是线段的中点，点关于푥轴的对称点为，延长交䁨于点，记直线，的斜率分别为1，．1（1）当1时，求的值；11（2）当时，求直线斜率的最小值．21.如图，䁨为正三角形，且䁨＝䁨ܥ＝，䁨ܥ䁨，将䁨沿䁨翻折．（1）当ܥ＝时，求证：平面ܥ平面䁨ܥ；（2）若点的射影在䁨ܥ内，且直线与平面䁨ܥ所成角为，求ܥ的长．试卷第3页，总9页,22.已知抛物线䁨푥＝‴)的焦点到直线푥1＝的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）过点)‴)的直线与抛物线䁨交于，两点，交푥轴于点，若抛物线䁨上总存在点（异于原点），使得＝＝，求实数的取值范围．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.D2.A3.A4.C5.B6.C7.B8.C9.A10.B二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.푥,)12.,113.1,14.푥＝,＝푥115.16.．17.[三、解答题：5小题，共74分18.由命题：函数푥)＝log푥在+)上为增函数是真，得‴1；由命题：函数푥)＝푥푥+有零点为假，得＝1，得．∴使命题真假的实数的取值范围是1)；若函数＝（푥)）在区间+)上值恒为正数，则首先保证푥)＝푥푥+在+)上恒大于，则＝1或，)‴得．试卷第5页，总9页,又‴且1，∴且1．当1时，外层函数푥)单调递减，而内层函数푥)当푥+时，푥)+，此时＝（푥)），不合题意；当1时，外层函数푥)单调递增，要使＝（푥)）‴在区间+)上恒成立，则푥)＝푥푥+在+)上的最小值大于1．即)＝‴1，得．∴1．即使命题为真命题的实数的取值范围是1)．19.取得中点为，连接，；1由，分别为ܥ，的中点，则ܥ且ܥ；1又为䁨的中点，则ܥ且ܥ；所以且＝，则四边形为平行四边形；所以，又平面；所以平面；过作于点，连接䁨，䁨，ܥ，设䁨交ܥ于点试卷第6页，总9页,在ܥ中为䁨的中点，ܥ＝，则ܥ；又平面ܥ平面䁨ܥ，所以平面䁨ܥ；在ܥ中，ܥ，ܥ＝．则ܥ＝；由题意有＝䁨，＝，，在等腰三角形中，)；由䁨，则䁨；䁨＝则䁨为二面角䁨的平面角；+䁨䁨+1在䁨中，cos䁨；䁨故平面与平面䁨所成的锐二面角的余弦值为．20.设푥)푥‴‴))，可得푥)，푥)．所以直线的斜率1；푥푥直线的斜率；푥푥1此时．当1时＝1；1设푥11)，푥)．直线的方程为＝푥+，‴)푥+由，得1+)푥+푥+＝푥+试卷第7页，总9页,1)1)푥푥11+1+，即푥11+)푥；1)所以1푥1++；1+)푥直线的方程为＝푥+．1)1)同理有：푥1+)푥，1+)푥+，1)1)+1111+)푥1+)푥푥1)1)+1，1푥1+)푥1+)푥11当且仅当，即时取等号；故直线的斜率的最小值为1．21.证明：若ܥ＝，又＝䁨＝，则在底面䁨ܥ内的射影为䁨ܥ的外心，∵䁨ܥ为直角三角形，且䁨ܥ＝，∴在底面䁨ܥ内的射影落在ܥ的中点上，∴平面䁨ܥ，而平面ܥ，∴平面ܥ平面䁨ܥ；取䁨中点，ܥ中点，连接，，可得䁨平面，过作于，过作䁨交䁨ܥ于，连接，作于，得平面䁨ܥ，点到平面䁨ܥ的距离为，则sin，得，设＝푥，有푥+1푥，解得푥，即，又，∴与重合，则ܥ+1+)．试卷第8页，总9页,22.抛物线䁨푥＝‴)的焦点)到直线푥1＝的距离为，11可得，解得，即抛物线的方程为푥＝；过点)‴)的直线的方程设为＝푥+，联立푥＝，可得푥푥＝，设푥)，푥)，可得+‴，푥+푥＝，푥푥＝，且＝푥，＝푥，111111设)，)，由＝＝，可得1，化为+，①+푥1푥1，即+푥1)+푥)＝1，化为++1＝，②푥1푥由①②可得＝，由1)可得1)，1由于，‴，可得解得1．试卷第9页，总9页
