2019-2020学年浙江省衢州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）)1.已知全集＝，集合＝oureo，＝ouoݔ，则＝（）A.oureoݔeoour.Cݔeoour.BݔD.ouro2.直线oെݔݕ的倾斜角为（）A.B.C.rݔD.r쳌3.已知正三角形的边长为ݔ，那么的直观图的面积为（）A.B.C.D.ݔݔݔoെ4.若变量o，满足约束条件oݕr，则oݕݔ的最大值（）െr쳌쳌쳌A.െB.C.D.ݔݔ5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（）A.若‸，，，则‸B.若，，，则C.若‸，＝，‸，则‸D.若，‸，，则‸6.函数＝oെ䁃且r的图象可能是（）A.B.C.D.7.如图，在正方体ܥെrrrܥr中，是棱ܥ的中点，则异面直线与r所成角的正弦值为（）试卷第1页，总8页,ݔrr쳌쳌A.B.C.D.쳌r쳌r쳌쳌쳌8.已知直线ǣoെݔݕݔെo䁃：圆，＝ݔݕ＝，若点是圆上所有到直线的距离中最短的点，则点的坐标是（）A.䁃ݔെݔݕ䁃.Dݔെݔെ䁃.Cݔݔെ䁃.Bݔݔݕ9.如果圆䁃oെݔ＝u使u＝u使u得使，，点的同不个两在存上r＝ݔݕെ䁃ݕݔ（使为坐标原点），则的取值范围（）A.eeB.C.eെr或D.െr或10.已知四棱锥െܥ的底面是边长为ݔr＝ܥ，ܥ面侧‸ܥ，形方正的ݔ，是线段上的点（不含端点），若侧面，直线，侧面ܥ与平面ܥ所成角大小分别为，，，则下列结论成立的是（注：指二面角െെ的大小，指二面角െܥെ的大小）（）A.eeB.eeC.eeD.ee二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）)11.若sinݕݔ䁃soc，________tan则，ee䁃socݔݕ________．12.已知向量䁃ݔെrെ䁃，rെݔ，䁃䁞쳌，若‸，则＝________，若，，共面，则＝________．13.一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积为________，其表面积为________．14.在中，＝쳌，＝ݔ，使为的外接圆圆心，则使使________，的面积最大值为________．15.如图，在矩形ܥ中，ݔ，ܥr，为ܥ的中点，将ܥ沿折起，使得二面角ܥെെ为，则ܥ与平面ܥ所成角的余弦值为________．试卷第2页，总8页,16.若正实数o，满足ݔݕo则，＝rെoݔݕݔ的最小值为________．17.如图，圆柱的底面半径为r，高为ݔ，平面平面是轴截面，点，r分别是圆弧，平面的中点，在劣弧平r上（异于平，r），，，r在平面平面的同侧，记二面角െ平െ面，െ面െ平的大小分别为，，则tanെtan的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）)18.已知直线ǣoݔ＝ݔݕݔݔെo䁃：圆，＝ݔݕݕ．（1）平行于的直线r与圆相切，求直线r的方程；（2）直线分别与o轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围．19.已知三棱柱െrrr，r‸底面，＝＝r，‸，ܥ为线段的中点．（1）证明：r平面rܥ；（2）求二面角െrܥെ的余弦值．20.已知是等差数列，公差不为零，其前项和为，若ݔ，，䁞成等比数列，＝rݔ．（1）求及；rrr（2）已知数列满足െ平ݕ，r，为数列的前项和，求ݕr的取值范围．21.四棱锥െܥ中，＝，底面ܥ为等腰梯形，ܥ，＝ݔܥ＝试卷第3页，总8页,ݔ＝ݔ，为线段的中点，‸．（1）证明：‸平面；（2）若＝ݔ，求直线ܥ与平面所成角的正弦值．oെെo22.已知䁃o．oݕെo（1）判断函数䁃o的奇偶性，并说明理由；（2）若实数满足ݕr䁃ݕ䁃ݔ䁃r，求实数的取值范围；（3）若存在实数r，使对任意orݔݕݔoെo䁃，ݕoെ恒成立，求的取值范围．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省衢州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.A2.B3.D4.C5.D6.C7.A8.B9.A10.D二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）ݔ11.െݔ,r쳌12.െ,䁞13.r,ݔݕݔ14.,ݔݕrr15.16.17.䁃ݕ三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.设的平行系方程为rǣoݕݕ＝，uݔݕu因为直线r与圆相切，所以ݔ，∴＝，＝െݔ∴rǣoݕ＝或rǣoݕെ＝．直线分别与o轴，轴交于，两点，䁃െݔݔuu，ݔെ䁃，ݔr记到直线的距离为，则uuݔ，ݔuݔݕݔu又圆心到的距离ݔݔ，ݔ∴െ〷ݔݔ即，〷ݕ，代入得：ݔ．19.证明：连接r交r于，则＝r，又ܥ为中点，∴在r中，rܥ，ܥ平面rܥ，r平面rܥ，∴r平面rܥ．试卷第5页，总8页,以，，r分别o，，轴建立空间直角坐标系，设＝ݔ，则r䁃ݔ䁃，r䁃ܥ，ݔ䁃，ݔ，设平面rܥ法向量䁃o，r䁃െݔെr䁃ܥ，ݔݔ，rെݔݕݔ则，则䁃ݔrr，ܥoെݔ同理平面rܥ的法向量䁃r，r则ucosu，r∵二面角െrܥെ为钝角，∴二面角െrܥെ的余弦值为െ．䁃rݕr䁃ݕr䁃ݔݕ20.解得＝（舍）或＝r，则r＝，rݔrݕ䁃ݕ쳌＝ݔݕ，，ݔrr由െ得ݕrrrrrrrrrrrݕെ䁃ݕ……ݕെ䁃ݕݕ䁃ݕെ䁃，时ݔ，െrെrെݔെݔെݔrr䁃ݔݕ䁃rݕെrݕrݕݕെݕݔെݕ，ݔ当＝r时上式仍成立．ݔrr∴ݔ䁃െ，䁃ݔݕrݕݔݕ䁃rݕrrrrrrrrrrݔ∴ݔെ䁃ݕݕെ䁃ݕെ䁃ݕെ䁃ݔ䁃െrെ，ݔݕݔݕݔݔݕrݕ쳌ݔݔ∵rെrݕ单调递增．ݔݕr∴r．试卷第6页，总8页,21.＝，为的中点，所以‸，在等腰梯形ܥ中，作面‸，r面为垂足，则由＝ݔ＝ݔܥ知面，ݔ所以＝，＝，则＝．即‸，又‸，＝，‸平面，平面，‸，由于＝，，平面，所以‸平面．＝ݔ，＝r，所以，＝，取中点，则‸，所以‸平面，‸，所以‸平面ܥ．如图以为o轴，为轴，为原点建立空间直角坐标系，r则䁃，䁃r，䁃，ܥ䁃െ，䁃，ݔݔݔݔ由（1）知‸平面，则平面的法向量䁃r，rܥ䁃，ݔݔrܥݔr所以sinrr，uuuܥuݔr直线ܥ与平面所成角的正弦值．rെoെooെെo22.定义域为，䁃െoെെ䁃o；∴䁃o为奇函数；െoݕooݕെooെെoݔrെoݔ䁃orെoݕoݔrݕoݔoെݕrݔoݔoݔ由于ݕr为增函数且ݕr，∴为减函数，∴䁃o为上的增函数；ݔoݕr∴ݕgol䁃െgol䁃ݔ＝r䁃ݕr䁃ݕgol䁃ݔ䁃r；∴䁃logെ䁃r＝䁃െr；试卷第7页，总8页,r∴െr；r∴e；假设存在实数r，䁃oെoݕoݔെݔoo䁃即，െoݔݕݔ成立，则䁃ooݔെݔorݕoݔെݔo；由（2）知䁃o在rݕ单调递增；令䁃o＝oݔെݔo，当e时，䁃o在䁃rݔെݔoo䁃使要∴，减递调单ݕo＝䁃o对任意orݕ恒成立，െെr则只要䁃r䁃r，即െ成立，ݕെrݔെr解得െ；ݔݕrݔെr当＝时，䁃o＝，∴䁃o，恒成立ݔݕr当时，因为䁃o＝oݕo䁃，时ݕo当且增递调单ݕr在oݔെݔ；oെെoݔrെoݔ而䁃orെer；oݕെoݔoݕrݔoݕr所以必然存在orݕ，使oo时，有䁃o䁃o，ݔെr综上：െ．ݔݕr试卷第8页，总8页
