2020-2021学年浙江省台州市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合＝‸㈱㈱，＝㈱㈱，则＝（）A.B.‸㈱㈱㈱㈱C.‸㈱㈱㈱㈱㈱D.‸㈱데22.已知复数，则（）2‸‸A.的虚部为2B.的实部为C.香D.香i‸3.若实数，满足约束条件ii‸，则＝i的最小值是（）데i‸A.데B.데C.데D.데4.如图：某四棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该四棱锥的体积（单位：）为（）A.B.C.D.5.设为空间一点，，为空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，；则ᦙ＝B.若，，；则与必有公共点C.若，，；则D.若与异面，，；则6.函数㌳㌳데i㌳데데的零点个数为（）A.B.C.D.7.把标号为①，②，③，④的个小球随机放入甲、乙、丙三个盒子中，则①号球不在甲盒子中的概率为（）A.B.C.D.8.若平面上两点㌳데㈱‸，㌳㈱‸，则ᦙ＝㌳데上满足＝的点的个试卷第1页，总8页,数为（）A.‸B.C.D.与实数的取值有关9.已知，㌳‸㈱，㤵，若데＝cos데cos，则下列结论一定成立的是（）A.sin香sinB.cos香cosC.sinsinD.coscos10.数列满足i＝데i㌳，㌳‸㈱，则以下说法正确的个数（）①‸香香；②iiiǤǤǤi香；i③对任意正数，都存在正整数使得iiii成立；데데데데④香．iA.B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分.)11.设等差数列的公差为非零常数，且＝，若，，成等比数列，则公差＝________；数列的前‸‸项和‸‸＝________．i12.已知㌳i㌳데的展开式中各项系数之和等于‸，则＝________；其展开式中含项的系数为________．데sin䁨데sin13.锐角䁨中，内角，，䁨所对的边分别为，，，且，则角sinisin的大小为________；若＝，则䁨面积的取值范围是________．14.如图：正方体䁨ܥ데䁨ܥ的棱长为，，分别为棱，䁨的中点，则二面角데데的余弦值为________________；若点为线段上的动点（不包括端点），设异面直线䁨与所成角为，则cos的取值范围是________．15.若函数㌳㌳데데i在区间㌳㈱i上有极大值，则的取值范围是________．16.已知椭圆䁨ᦙi㌳‸和双曲线䁨ᦙ데㌳‸㈱‸的焦点相同，，分别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若ܱܱ（ܱ为坐标原点），则椭圆和双曲线的离心率之积为________．17.已知，㌳데i，则㌳데㌳데的最小值为试卷第2页，总8页,________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.如图，㌳‸㈱，点是半径为的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置‸开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，点的纵坐标关于时间（单位：秒）的函数，记作：＝㌳．㌳Ⅰ若点‸㌳㈱，求㌳；㌳Ⅱ若将函数＝㌳的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点对称；当‸㈱时，求函数＝㌳的值域．19.如图：三棱锥데䁨ܥ中，平面䁨ܥ，且ܥ＝＝䁨ܥ＝，䁨；䁨，ܥ，垂足分别为，．㌳Ⅰ求证：为直角三角形；㌳Ⅱ求直线䁨与平面所成角的大小．i20.已知数列的前项和为，满足＝，i＝ii，令，．㌳Ⅰ求证：数列i为等比数列，并求；i㌳Ⅱ记数列的前项和为，求证：香．21.如图：已知抛物线䁨ᦙ＝与椭圆䁨ᦙi㌳‸有相同焦点，为抛物线䁨与椭圆䁨在第一象限的公共点，且，过焦点的直线交抛物线䁨于，两点、交椭圆䁨于䁨，ܥ两点，直线，与抛物线䁨分别相切于，两点．试卷第3页，总8页,㌳Ⅰ求椭圆䁨的方程；㌳Ⅱ求䁨ܥ的面积的最小值．22.设函数㌳ln㌳i데，㌳㌳데ii데．㌳Ⅰ若㌳香‸对㌳데㈱i恒成立，求的取值范围；㌳Ⅱ若，当㌳i㌳＝时，求证：㌳i．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省台州市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.C9.A10.D二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分.‸‸11.,‸12.데,데13.,㌳㈱‸14.,㌳㈱‸15.㌳데㈱16.17.데三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（1）设ܱ‸的初始角为，则由‸㌳㈱，得cos，sin，㌳sin㌳i，∴㌳sin㌳isin㌳isincosicossinii．‸（2）∵㌳sin㌳i㌳‸香香，∴㌳데sin㌳데isin㌳데isin，则데i㌳，则i，，由‸香香，得，试卷第5页，总8页,∴㌳sin㌳i，又‸㈱，∴i㈱，∴㌳㈱，故㌳的值域为㈱．䁨ܥ䁨ܥ19.（1）证明：䁨ܥ䁨䁨i䁨ܥܥ䁨䁨ܥ䁨ᦙ䁨䁨ܥ䁨平面䁨ܥ，䁨ᦙ䁨ܥ䁨ܥܥܥᦙܥ为直角三角形．（2）以点为原点，过做䁨ܥ的平行线，如图建立空间直角坐标系：则㌳‸㈱‸㈱‸，㌳‸㈱‸㈱，䁨㌳‸㈱㈱‸，ܥ㌳데㈱㈱‸，䁨㌳‸㈱㈱‸，ܥ㌳데㈱㈱데．由（1）得ܥ平面，∴ܥ为平面的法向量，∴sincosܥ㈱䁨，∴直线䁨与平面所成角大小为．20.证明：㌳Ⅰ∵i＝ii，∴데i㌳데i㌳㈱，∴i데i㌳㈱，∴ii㌳㈱，∴i㌳i㌳㈱，i∵＝，∴＝，∴i＝㌳i，∴i㌳i㌳，i试卷第6页，总8页,由i＝㤵‸，∴i㤵‸，∴i为等比数列，∴i，∴데．i证明：㌳Ⅱi，㌳데데i∵，데데i데데㌳∴iiiii데ii㌳데㌳，데∵㌳‸，∴데㌳香，i∴香．21.（1）∵，∴i，∴，．∵为抛物线䁨与椭圆䁨在第一象限的公共点，∴i且데＝，解得，∴椭圆䁨ᦙi；（2）设㌳㈱，㌳㈱，㌳‸㈱‸，由已知得直线斜率存在，设为＝i，则直线ᦙ데，直线ᦙ데，i‸i则有，即㌳㈱，‸데i又∵，＝데，∴㌳㈱데，데i联立方程组，消去可得：㌳ii데＝‸，ii데则＝i㌳i＝㌳i，且i，데i则由弦长公式可得：䁨ܥi데i㌳i데，㌳i㌳i∴䁨ܥi，iii∴点到直线的距离为，i㌳ii㌳i∴䁨ܥ䁨ܥiii．㌳i令i＝㌳，∴㌳，∴㌳‸恒成立，i㌳i试卷第7页，总8页,∴当＝，即＝‸时，䁨ܥ的面积最小，且䁨ܥ的最小值为（3）데㌳i22.（1）㌳데㌳데，ii当‸时，데香데，令㌳‸得：데香香데，∴㌳在区间㌳데㈱데上单调递增，在区间㌳데㈱i上单调递减．∴㌳max㌳데데ln㌳，由데ln㌳香‸，得：，当香‸时，데데，则㌳‸对㌳데㈱i恒成立，∴㌳在区间㌳데㈱i上单调递增，且㌳데i데‸，所以不符合．故：的取值范围为㌳㈱i．（2）证明：∵㌳lni데i㌳‸，∴㌳i㌳＝，得：lni데데㌳lni데，若或，则结论显然成立．当㈱㌳‸㈱时，证：㌳i证：데，㌳데令：㌳lni데，㌳‸㈱，㌳i데‸，所以㌳为单调递增函数，则，证：데证：㌳㌳데，而㌳＝데㌳，所以等价于证：데㌳㌳데，即证：㌳i㌳데香‸，㌳i㌳데lniln㌳데i데데，㌳데令：㌳lniln㌳데i데데，㌳ii데，데㌳데得：㌳在区间㌳‸㈱上递增，在区间㌳㈱上递减，∴㌳㌳ln데，因为，所以香，所以㌳香‸，故：得证．试卷第8页，总8页
