2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）)1.已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f(12)的x的取值范围是（）A.(14, 34)B.[14, 34)C.(13, 34)D.[13, 34)2.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=101gII0（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，则60dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的（）A.32倍B.1032 倍C.100倍D.lg32倍3.已知集合M={(x, y)|2x+y=2}，集合N={(x, y)|x-y=4}，则M∩N是（）A.x=2，y=-2B.(2, -2)C.{2, -2}D.{(2, -2)}4.如图，已知全集U=R，集合A={x|x<-2或x>6}，B={x|-4≤x≤5}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|-2≤x<6}B.{x|x≤-4或x≥6}C.{x|-2≤x≤6}D.{x|-2≤x≤5}5.函数f(x)=2x+1+2x-1的定义域是（）A.[-12，+∞)B.[12，+∞)C.[-12，12]D.(12，+∞)6.正数a，b满足9a+1b＝2，若a+b≥x2+2x对任意正数a，b恒成立，则实数x的取值范围是（）A.[-4, 2]B.[-2, 4]C.(-∞, -4]∪[2, +∞)D.(-∞, -2]∪[4, +∞)7.如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2-x-a的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是（）试卷第7页，总7页
A.{a|-2<a<-1}B.{a|-2≤a<-1}C.{a|-2≤a<2}D.{a|a≥-2}8.函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是（）A.B.C.D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）)9.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A.f(x)＝1x+xB.g(x)=x2-x-3C.f(x)＝2x2-1，x≤1|2-x|,x>1D.f(x)＝1x-x10.已知x∈R，条件p:x2<x，条件q：1x≥a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（）A.-1B.0C.1D.211.已知集合M＝{-2, 3x2+3x-4, x2+x-4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A.2B.-2C.-3D.112.下列说法中正确的有（）A.不等式a+b≥2ab恒成立B.不等式a+b≤2(a2+b2)恒成立C.若a，b∈(0, +∞)，则ba+ab≥2试卷第7页，总7页
D.存在a，使得不等式a+1a≤2成立三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）)13.若命题“∃x∈R，使得x2+(a-1)x+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．14.已知a>0，b>0，且2ab=a+b+4，则a+b的最小值为________．15.设f(x)=x2-2ax+1，x∈[0, 2]，当a=3时，f(x)的最小值是________，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为________．16.已知f(2x+1)=x2-2x，则f(7)=________．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）)17.已知函数f(x)＝x2-(a+b)x+a．（1）若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值；（2）当b＝1时，解关于x的不等式f(x)>0．18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元．（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.化简下列各式：（1）(235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5；（2）(1-log63)2+log62⋅log618log64．20.已知全集为R，集合A＝{x∈R|x-5x+3>0}，B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}．（1）若B⊆∁RA，求实数a的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁RA的什么条件（充分必要性）．①a∈[-7, 10)；②a∈(-7, 10]；③a∈(6, 10]．21.已知f(x)＝xx2+4，x∈(-2, 2)．（1）判断f(x)的奇偶性并说明理由；试卷第7页，总7页
（2）求证：函数f(x)在(-2, 2)上是增函数；（3）若不等式f(x)<(a-2)t+5对任意x∈(-2, 2)和a∈[-3, 0]都恒成立，求t的取值范围．22.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y＝f(x)x在区间I上是减函数，则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”．（1）若函数h(x)＝x2+(m-12)x+b（m、b是常数）在区间(0, 1]上是“弱增函数”，求m、b应满足的条件；（2）已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|(k是常数且k≠0)，若存在区间I使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.A2.C3.D4.D5.B6.A7.B8.D二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.B,C,D10.A,B,C11.A,C12.B,C,D三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(-∞, -1)∪(3, +∞)14.415.-7,(-∞, 0]16.3四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.由题意可得，1，2是x2-(a+b)x+a＝0的两根，所以a+b=3a=2 ，所以a＝2，b＝1，当b＝1时，f(x)＝x2-(a+1)x+a>0可得(x-a)(x-1)>0，当a<1时，解可得x<a或x>1，当a＝1时，解可得，x≠1，当a>1时，解可得x<1或x>a综上可得，当a<1时，{x|x<a或x>1}，当a＝1时，{x|x≠1}，当a>1时，{x|x<1或x>a}18.∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，x＝2，∴8＝4-，解得k＝2>0，得y＝•x-(8+16x)-m＝36-；y＝36--m＝37-≤37-4＝29，试卷第7页，总7页
当且仅当＝m+1，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．19.(235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5；＝1+(12)2⋅(94)-12-[(0.1)2]0.5＝1+14×23-110=1615；因为：1-log63＝log66-log63＝log62；所以：(1-log63)2+log62⋅log618log64=(log62)2+log62⋅log618log622=log62(log62+log618)21og62=log6362＝1．20.集合A={x∈R|x-5x+3>0}=(-∞-3)∪(5, +∞)，所CRA=[-3, 5]，集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0}，若B⊆CRA，且5∈CRA=[-3, 5]，只需-3≤a2≤5，所以-6≤a≤10．由（1）可知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6, 10]，选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是充分不必要条件．21.f(x)在(-2, 2)为奇函数，证明如下：f(x)的定义域(-2, 2)关于原点对称，f(-x)=-x(-x)2+4=-xx2+4=-f(x)，即f(x)为(-2, 2)内的奇函数；证明：设-2<x1<x2<2，则f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=x1x2(x2-x1)+4(x1-x2)(x12+4)(x22+4)=(x1-x2)(4-x1x2)(x12+4)(x22+4)，由-2<x1<x2<2，可得x1-x2<0，x1x2<4，即4-x1x2>0，x12+4>0，x22+4>0，则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(-2, 2)上是增函数；试卷第7页，总7页
不等式f(x)<(a-2)t+5对任意x∈(-2, 2)恒成立，由函数f(x)在(-2, 2)上是增函数，可得f(x)<f(2)=14，则(a-2)t+5≥14，即(a-2)t≥-194，再由(a-2)t≥-194对a∈[-3, 0]恒成立，设g(a)=at-2t+194，可得g(-3)≥0，且g(0)≥0，由-3t-2t+194≥0-2t+194≥0，可得t≤1920，则t的取值范围是(-∞, 1920]．22.由题意，h(x)=x2+(m-12)x+b（m，b是常数）在(0, 1]上是增函数，h(x)x=x+bx+(m-12)在(0, 1]上是减函数，∴-m-0.52≤0，b≥1，∴m≥0.5，b≥1；∵f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|，当x<1时，f(x)=-(k+3)x+(6+4k)，f(x)x=-(k+3)+6+4kx，使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，则-(k+3)>06+4k>0，无解，当1≤x<2时，f(x)=-(k+1)x+(4+4k)，f(x)x=-(k+1)+4+4kx，使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，则-(k+1)>04+4k>0，无解，当2≤x<3时，f(x)=(1-k)x+4k，f(x)x=(1-k)+4kx，使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，则1-k>04k>0，解得：0<k<1，当3≤x<4时，f(x)=(3-k)x+(4k-6)，f(x)x=(3-k)+4k-6x，使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，则3-k>04k-6>0，解得：32<k<3，当x≥4时，f(x)=(3+k)x+(-4k-6)，f(x)x=(3+k)+-4k-6x，使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，则3+k>0-4k-6>0，解得：-3<k<-32，综上，k的取值范围是(-3, -32)∪(32, 3)．试卷第7页，总7页
