单元素养评价(三)(第三章)(120分钟 150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数y=2cos2+1的最小正周期是( )A.4π B.2π C.π D.【解析】选B.因为y=2cos2+1=+2=cosx+2,所以函数的最小正周期T=2π.2.(2020·长春高一检测)已知sinα=,cosα=,则tan等于( )A.2-B.2+C.-2 D.±(-2)【解析】选C.因为sinα=,cosα=,所以tan===-2.3.若3sinx-cosx=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于( )A.-B.C.D.-【解析】选A.3sinx-cosx=2=2sin.又φ∈(-π,π),所以φ=-.4.(2020·绍兴高一检测)已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转后经过点(3,4),则tanα=( )A.-7B.-C.D.711
【解析】选A.根据题意tan=,tan==,所以tanα=-7.5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.令f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,则sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.6.若α∈(0,π),且cosα+sinα=-,则cos2α=( )A.B.-C.-D.【解析】选A.因为cosα+sinα=-,α∈(0,π),所以sin2α=-,cosα<0,且α∈,所以2α∈,所以cos2α==.7.=( )A.B.-C.-1D.1【解析】选B.原式==-=-=-=-.8.(2020·珠海高一检测)在△ABC中,已知tan=sinC,则△ABC的形状为( )A.正三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.在△ABC中,tan=sinC11
=sin(A+B)=2sincos,所以2cos2=1,所以cos(A+B)=0,从而A+B=,即△ABC为直角三角形.9.已知0<β<α<,点P(1,4)为角α的终边上一点,且sinαsin+cosαcos=,则角β=( )A.B. C. D.【解析】选D.因为P(1,4),所以|OP|=7(O为坐标原点),所以sinα=,cosα=.又sinαcosβ-cosαsinβ=,所以sin(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=.因为0<β<,所以β=.10.已知0<α<<β<π,又sinα=,cos(α+β)=-,则sinβ等于( )A.0B.0或C.D.±【解析】选C.因为0<α<<β<π且sinα=,cos(α+β)=-,所以cosα=,<α+β<π,所以sin(α+β)=±,当sin(α+β)=时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=;当sin(α+β)=-时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=-×-×=0.11
又β∈,所以sinβ>0,故sinβ=.11.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)=( )A.-B.-C.-D.-【解题指南】由已知可得x2=-x1,结合x1<x2求出x1的范围,再由sin(x1-x2)=sin=-cos求解即可.【解析】选D.因为方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以=,所以x2=-x1,所以sin(x1-x2)=sin=-cos.因为x1<x2,x2=-x1,所以0<x1<,所以2x1-∈,所以由f(x1)=sin=,得cos=,所以sin(x1-x2)=-.12.已知不等式f(x)=3sincos+cos2--m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是( )A.m≥B.m≤C.m≤-D.-≤m≤【解析】选A.f(x)=3sincos+cos2--m=sin+cos-m,=sin-m≤0,所以m≥sin,11
因为-≤x≤,所以-≤+≤,所以-≤sin≤,所以m≥.二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则m= . 【解析】f(x)=sin2x+2cos2x+m=sin2x+1+cos2x+m=2sin+m+1,因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,f(x)max=2+m+1=6,所以m=3.答案:314.tan+tan+tan·tan+θ的值是 . 【解析】因为tan=tan==,所以=tan+tan+tan-θtan.答案:15.(2020·临汾高一检测)若sinα+2cosα=-(0<α<π),则cos= . 【解析】由sinα+2cosα=-(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sinα=,cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=-,11
cos2α=cos2α-sin2α=-,所以cos=cos2αcos-sin2αsin=.答案:16.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:①y=f(x)的最大值为;②y=f(x)的最小正周期是π;③y=f(x)在区间上是减函数;④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是 . 【解析】f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin==cos=cos,所以y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①、②正确.又当x∈时,2x-∈[0,π],所以y=f(x)在上是减函数,故③正确.由④得y=cos2=cos,故④正确.答案:①②③④三、解答题(共70分)17.(10分)(1)求值:.11
(2)已知sinθ+2cosθ=0,求的值.【解析】(1)原式====2+.(2)由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,又cosθ≠0,则tanθ=-2,所以====.18.(12分)已知sinsin=,且α∈,求tan4α的值.【解析】因为sin=sin=cos,则已知条件可化为sincos=,即sin=,所以sin=,所以cos2α=.因为α∈,所以2α∈(π,2π),从而sin2α=-=-,所以tan2α==-2,故tan4α==-=.19.(12分)(2020·晋中高一检测)设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值.11
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,又x∈,所以当x=时,sin取得最大值为1,所以f(x)的最大值为.20.(12分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值.(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】方法一:(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.11
方法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.(1)因为0<α<,sinα=,所以α=.从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.21.(12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.(1)求tan(2α-β)的值.(2)若<α<π,0<β<,求α+β.【解析】(1)由三角函数的定义知tanα=-,所以tan2α==.又由三角函数线知sinβ=.因为β为第一象限角,所以tanβ=,所以tan(2α-β)==.(2)因为cosα=-,<α<π,0<β<,所以<α+β<.因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×-×=.又因为<α+β<,11
所以α+β=.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB、AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.【解析】连接PA,设∠PAE=θ,如图所示.设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cosθ,PN=HN-HP=10-9sinθ.所以S=PM·PN=(10-9cosθ)(10-9sinθ)=100-90sinθ-90cosθ+81sinθcosθ.设sinθ+cosθ=t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为θ∈,11
所以t=sinθ+cosθ=sin∈[1,],所以当t=时,Smin=,故矩形PMCN的面积的最小值为.11
