简单的三角恒等变换A级——基础过关练1．已知sin2α＝，则cos2＝( )A．－B．－C．D．【答案】D 【解析】cos2＝＝＝.2．已知α∈，cosα＝，则tan＝( )A．3B．－3C．D．－【答案】D 【解析】因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－.3．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )A．－B．－C．D．【答案】B 【解析】由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－.因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.故选B．4．(多选)下列选项中，值为的是( )A．cos72°cos36°B．sinsin5
C．＋D．－cos215°【答案】AB 【解析】对于A，cos36°cos72°＝＝＝＝，故A正确；对于B，sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝，故B正确；对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB．5．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为( )A．1B．－1C．D．－【答案】D 【解析】由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cosx(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1,1]，y＝t2－t－1＝2－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值－.所以函数f(x)的最小值为－.故选D．6．若sin＋2cos＝0，则tanθ＝________.【答案】 【解析】由sin＋2cos＝0，得tan＝－2，则tanθ＝＝.7．已知sin＝，则cos2＝________.【答案】 【解析】因为cos＝sin＝sin＝，所以cos2＝＝＝.5
8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则cos＝________，sin2θ＝________.【答案】 【解析】因为sin＝，所以cos＝cos＝sin＝，sin2θ＝cos＝cos2＝1－2sin2＝1－2×2＝.9．已知tanθ＝，求的值．解：＝＝＝＝＝＝，即＝.B级——能力提升练10．已知2sinα＝1＋cosα，则tan＝( )A．B．或不存在C．2D．2或不存在【答案】B 【解析】由2sinα＝1＋cosα，得4sincos＝2cos2.当cos＝0时，tan不存在；当cos≠0时，tan＝.11．函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x(x∈R)是( )5
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D 【解析】因为f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数．故选D．12．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.【答案】－ 【解析】因为3sinx－cosx＝2·＝2sin，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.13．设函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx满足f(0)＝2，f＝，则a＝_______，b＝______.【答案】1 2 【解析】因为f(0)＝2a＝2，所以a＝1.因为f＝2a×＋b·×＝＋b＝，所以b＝2.14．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标．解：f(x)＝sin2x－cos2x－2·＝sin2x＋cos2x－＝sin－.(1)函数f(x)的最小正周期为π.(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，5
所以f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．C级——探究创新练15．(2020年吉安期末)函数f(x)＝2cosx·sin(x＋θ)＋sin2x的图象关于直线x＝对称，其中θ∈.(1)求θ的值；(2)判断函数f(x)的最小正周期，当x∈时，求函数f(x)的最值．解：(1)由函数f(x)的图象关于直线x＝对称，得f(0)＝f(θ)，即2sinθ＝2cosθsin2θ＋sin2θ＝4cosθcosθsinθ＋2sinθcosθ，则2sinθ(2cos2θ＋cosθ－1)＝0.又θ∈，则sinθ＞0，cosθ＞0.所以2cos2θ＋cosθ－1＝0，可得cosθ＝－1(舍去)，或cosθ＝，由θ∈，得θ＝.此时f(x)＝2cosxsin＋sin2x＝2cosx·＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.(2)由(1)得f(x)＝sin＋，则f(x)的最小正周期T＝π.当x∈时，2x＋∈，则sin∈，当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)有最小值0；当2x＋＝，即x＝，函数f(x)有最大值.5
