简单的三角恒等变换[A级 基础巩固]1．已知α∈，cosα＝，则tan＝( )A．3 B．－3C.D．－解析：选D 因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－.2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )A．－B．－C.D.解析：选B 由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－.因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.故选B.3．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有( )A．c<b<aB．a<b<cC．a<c<bD．b<c<a解析：选C a＝cos6°－sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，7
b＝2sin13°cos13°＝sin26°，c＝＝＝(cos20°－sin20°)＝sin25°，y＝sinx，x∈(0°，90°)函数是增函数，所以a<c<b，故选C.4．(多选)下列各式与tanα相等的是( )A.B.C.·(α∈(0，π))D.解析：选CD A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.5．若<θ<π，则－＝( )A．2sin－cosB．cos－2sinC．cosD．－cos解析：选D ∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.∵1－sinθ＝sin2＋cos2－2sincos＝，(1－cosθ7
)＝sin2，∴－＝－＝sin－cos－sin＝－cos.6．求值sin＝________．解析：sin＝＝＝.答案：7．化简：＝________．解析：原式＝＝2cosα.答案：2cosα8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形，如图．若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16，则cos(α－β)＝________．解析：设大正方形的边长为4，依题意得小正方形的边长为3.因此4cosα－4sinα＝3⇒cosα－sinα＝，①4sinβ－4cosβ＝3⇒sinβ－cosβ＝.②①×②，得sinβcosα－sinβsinα－cosαcosβ＋sinαcosβ＝.又sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，7
∴sin2β－(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋cos2β＝，∴cos(α－β)＝1－＝.答案：9．求证：＝tan.证明：左边＝＝＝＝＝tan＝右边．所以原等式成立．10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值．解：因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π.法一：由0<α－β<π可得，0<<，所以cos＝＝＝，sin＝＝.所以tan＝＝.7
法二：同法一，求得cos＝.由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝＝.所以tan＝＝＝.[B级 综合运用]11．(多选)已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx，则下列结论中正确的是( )A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立B．f(x)在区间上单调递增C．函数f(x)的图象关于点对称D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称解析：选AC 易知f(x)＝2sin＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，C正确；f＝2sin＝－≠±2，D错误．故选A、C.12.如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )A．10B．15C．25D．50解析：选C 连接ON(图略)，设∠BON＝θ，则矩形面积S＝5sinθ×2×5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，∴当sin2θ＝1时，S取得最大值25，故Smax＝25.7
13．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________．解析：＝＝＝2cos2α＋1＝，所以cos2α＝，又α是第四象限角，所以sin2α＝－，tan2α＝－.答案：－14．已知函数f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且f＝1.(1)求常数a的值及f(x)的最小值；(2)当x∈时，求f(x)的单调增区间．解：(1)∵f＝1，∴sin2＋asincos－cos2＝1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，sin有最小值－1，则f(x)的最小值为－.(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．又x∈，∴0≤x≤.∴当x∈时，f(x)的单调递增区间是.[C级 拓展探究]15．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，7
设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；(2)若R＝45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)解：(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ，所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.(2)因为θ∈，所以2θ＋∈，所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值．Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2)．故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35m2.7
