2020-2021学年唐山市迁安市八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共32.0分）1.如图为王明的答卷，他的得分应是( )A.100分B.80分C.60分D.40分2.在0，3，-1，-56中，最小的数是( )A.0B.3C.-1D.-563.如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是( )A.1：2B.1：4C.1：3D.2：34.估计(23-8)×12的值应在( )A.-1和0之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间5.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=5，我们可以很容易得到△APD≌△AEB．有下列结论：①点B到直线AE距离为2；②EB⊥ED；
③S△APD+S△APB=12+62④S正方形ABCD=3+6．其中正确的结论有( )A.②③B.③④C.①②③D.①②④6.函数y=14-x中自变量x的取值范围是( )A.x<4B.x≠4C.x>4D.x≤47.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CD分别是底角的平分线，DE//BC，图中等腰三角形的个数有( )A.4个B.5个C.6个D.8个8.下列各式从左到右变形正确的是( )A.x+12+y3=3(x+1)+2yB.0.2a-0.03b0.4c+0.05d=2a-3b4c+5dC.a-bb-c=b-ac-bD.2a-2bc+d=a-bc+d9.下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )A.B.C.D.10.如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，在OB上截取BC=AB，在AO上截取OP=OC，OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是( )A.5-1B.3C.2D.5-1211.如图，AB=AC，AD=AE，则：①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③点O在∠BAC的平分线上．以上结论( )A.都正确B.都不正确
C.只有一个正确D.只有一个不正确12.设P=22013+122014+1，Q=22014+122015+1，则P与Q的大小关系是( )A.P>QB.P=QC.P<QD.不能确定13.下列计算正确的是( )A.3-2=6B.3+2=5C.(-2)2=-2D.2⋅2=214.若|x+2|+y-3=0，则xy的值为( )A.-8B.-6C.5D.615.若分式方程1x-3+1=a-xx-3有增根，则a的值是( )A.4B.3C.2D.116.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的解析式为y=-33x+1，该直线与x轴、y轴分别交于点A，B，以AB为边在第一象限内作正△ABC.若点P(m,n)在第一象限内，且满足S△ABC=S△ABP，则n的取值范围是( )A.0<n<3B.1<n<3C.n>3D.2<n<3二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）17.已知34a-3=-3，则a=______．18.如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②∠APD=∠BMF；③EM=2AM；④△CDE是等腰三角形；⑤EM：BE=5：3；⑥S△EPM=118S梯形ABCD，正确的有______(填序号)19.按规律在横线上填上适当的数，-23，-18，-13，______，______，______．三、解答题（本大题共6小题，共57.0分）20.化简下列各式(1)432+50-38(2)45-1255+3
(3)3+(4)2⋅13-0.3⋅0.4(4)(-22+33)2(5)312-413-227(6)(1+2)(1-3)21.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上(不与点B，点O重合)，点F在线段OD上，且DF=BE，连接AE，AF，CE，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC=4，BD=8，当BE=3时，判断△ADE的形状，说明理由．22.计算：(1)(mn)2⋅nm÷(-mn2)(2)a-1a-2÷a2-1a2-4(3)1x-3-1x+3 (4)(x+2x-x+1x-2)÷x+4x2-2x．23.如图，正方形OEFG的直角顶点O为正方形ABCD的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AG、DE．(1)求证：AG=DE；(2)若DE//OC，求∠GAO的度数．
24.列分式方程解应用题：秋冬交界时节，我国雾霾天气频发．由于市场需求，甲、乙两公司准备合作生产一批防雾箍口罩，12天可以完成；如果甲、乙两公司单独完成此项任务，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，求甲、乙公司单独完成此项工作各需多少天？25.如图，将△ABD绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ACE，BD与CE交于点P，连接AP．(1)求∠APB的度数(用α表示)；(2)若M，N分别为BC，DE的中点，连MN分别交BD，CE于G，H两点，求证：MN⊥AP；(3)若α=60°，AD=3，直接写出BP-PC的最大值．
参考答案及解析1.答案：D解析：解：绝对值是1的数为±1，所以①正确；倒数等于本身的数为为±1，所以②正确；-a-a=-2a，所以③错误；正整数、零、负整数统称有理数，所以④错误；17.80精确到百分位，所以⑤错误，所以王明的得分为40分．故选：D．根据绝对值的意义对①进行判断；根据到倒数的定义对②进行判断；根据合并同类项对③进行判断；根据有理数的分类对④进行判断；根据近似数的精确度对⑤进行判断．本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．也考查了绝对值和倒数．2.答案：C解析：解：∵|-1|=1，|-56|=56，∴四个数0，3，-1，-56中，两个负数中-1的绝对值最大，所以最小的数为-1．故选：C．根据负数小于0和正数，得到最小的数在-1和-56中，然后比较它们的绝对值即可得到答案．本题考查了有理数的大小比较：负数小于0和正数，0小于正数；负数的绝对值越大，这个数越小．3.答案：B解析：解：∵CE=AE，CD=DB，∴ED//AB，DE=12AB，∴△DEF∽△ABF，∴S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14，故选：B．利用三角形的中位线定理可得DE：AB=1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.答案：B解析：解：(23-8)×12=6-2∵2<6<3，∴0<6-2<1．故选：B．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．5.答案：A解析：解：②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，AE⊥AP∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED；故②正确；①过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，又∵②中EB⊥ED，∴∠FEB=∠FBE=45°，又∵BE=BP2-PE2=3，∴BF=EF=62，故①不正确；③如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=2，又∵PB=5，
∴BE=3，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=3，∵AE=1，BF=EF=62，∠AFB=90°，∴AB2=(1+62)2+(62)2=4+6，∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=12S正方形ABCD-12×DP×BE=12×(4+6)-12×3×3=12+62．故③正确．④∵EF=BF=62，AE=1，∴在Rt△ABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+6，∴S正方形ABCD=AB2=4+6，故④错误．故选：A．①过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．6.答案：A解析：本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式有意义的条件及二次根式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，以及分母不等于0即可求解．
解：根据题意得4-x>0，解得x<4．故选：A． 7.答案：C解析：解：如图，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(设为2α)；∵DE//BC，∴∠ADE=∠AED=2α；∠DEO=∠CBO=α，∠EDO=∠BCO=α；∵BE，CD分别是底角的平分线，∴∠ABE=∠CBE=α，∠ACD=∠BCD=α，∴∠DBE=∠DEB，∠EDC=∠ECD，∠ODE=∠OED，∠OBC=∠OCB，∴AD=AE、OD=OE、OB=OC、BD=ED、CE=DE，∴图中共有6个等腰三角形，故选C．如图，证明∠DBE=∠DEB，∠EDC=∠ECD，∠ODE=∠OED，∠OBC=∠OCB，进而得到AD=AE、OD=OE、OB=OC、BD=ED、CE=DE，即可解决问题．该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；同时还渗透了对平行线的性质等几何知识点的考查；应牢固掌握等腰三角形的判定及其性质．8.答案：C解析：解：A、不能去分母，即从左边到右边不正确，故本选项不符合题意；B、0.2a-0.03b0.4c+0.05d=20a-3b40c+5d，故本选项不符合题意；C、从左边到右边正确，故本选项符合题意；D、从左边到右边不正确，故本选项不符合题意；故选：C．根据分式的基本性质逐个判断即可．本题考查了分式的基本性质，能熟练地运用分式的性质进行变形是解此题的关键．9.答案：B解析：解：A.此图案是轴对称图形，不符合题意；B.此图案不是轴对称图形，符合题意；
C.此图案是轴对称图形，不符合题意；D.此图案是轴对称图形，不符合题意；故选：B．根据轴对称图形的定义求解即可．本题考查了轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．10.答案：A解析：解：∵∠OAB=90°，OA=2，AB=1，∴OB=OA2+AB2=22+12=5，∵BC=AB=1，∴OC=OB-BC=5-1，∴OP=5-1，∴P点对应的实数是5-1，P是AO的黄金分割点，故选：A．根据勾股定理求出OB，进而求出OC即可．本题考查了黄金分割、勾股定理以及实数与数轴；由勾股定理求出OB的长是解题的关键．11.答案：A解析：解：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠C，∵AB=AC，AE=AD，∴BE=CD，在△BOE和△COD中，∠BOE=∠COD∠B=∠CBE=CD，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE=OD，在△AEO和△ADO中，
OE=ODAE=ADAO=AO，∴△AEO≌△ADO(SSS)，∴∠BAO=∠CAO，∴点O在∠BAC的平分线上，∴①②③都正确，故选A．根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠B=∠C，求出BE=CD，根据AAS推出△BOE≌△COD，根据全等得出OE=OD，根据SSS推出△AEO≌△ADO，根据全等三角形的性质得出∠BAO=∠CAO，即可得出选项．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．12.答案：A解析：解：P-Q=22013+122014+1-22014+122015+1=22013+2015+22013+22015+1(22014+1)(22015+1)-2201+2014+22014+22014+1(22014+1)(22015+1)=22013+22015-2×22014(22014+1)(22015+1)=22013(22014+1)(22015+1)>0，P>Q．故选：A．根据作差法，可得分式的加减，根据通分，可得同分母分式的加减，根据同底数幂的乘法，可得答案．本题考查了分式的加减法，作差法是两数大小的常用方法：差大于零，被减数大于减数；差等于零，两数一样大；差小于零，被减数小于减数．13.答案：D解析：解：A、3与-2不能合并，所以A选项错误；B、3与2不能合并，所以B选项错误；C、原式=2，所以C选项错误；D、原式=2，所以D选项正确．故选：D．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14.答案：B解析：解：∵|x+2|≥0，y-3≥0，而|x+2|+y-3=0，∴x+2=0且y-3=0，∴x=-2，y=3，∴xy=(-2)×3=-6．故选：B．已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出xy的值．本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．15.答案：A解析：解：原方程两边同乘以(x-3)得1+(x-3)=a-x∵方程有增根，∴将x=3代入得1+(3-3)=a-3∴a=4故选：A．原方程两边同乘以(x-3)，化成整式方程，根据有增根，将增根代入化简后的整式方程，即可求出a的值．本题考查了分式方程的增根，根据增根为使得分母为0的值，可以求出方程中的参数，本题属于基础题型，难度不大．16.答案：A
解析：解：如图，过C作DE//l，交x轴于D，交y轴于E，则点P在线段DE上(不含端点)，由直线l的解析式为y=-33x+1，可得A(3,0)，B(0,1)，∴AB=2，∠BAO=30°=∠EDO，又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2，∴∠CAO=90°，∴AD=3AC=23，DO=33，∴Rt△DOE中，EO=DO3=3，∵点P(m,n)在第一象限内，∴n的取值范围是0<n<3，故选：A．过C作DE//l，交x轴于D，交y轴于E，则点P在线段DE上(不含端点)，先求得EO=3，依据点P(m,n)在第一象限内，即可得出n的取值范围是0<n<3．本题主要考查了一次函数的图象与性质以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据S△ABC=S△ABP，得到点P在线段DE上(不含端点)．17.答案：-6解析：解：由题意4a-3=-27∴a=-6，故答案为-6根据立方根的意义，列出方程即可解决问题；本题考查立方根的意义，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18.答案：①②④⑤⑥解析：解：连接DF，AC，EF，如图所示：∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠ABF=∠CBEBF=BE，∴△ABF≌△CBE(SAS)，∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，在△AME和△CMF中，∠BAF=∠BCE∠AME=∠CMFAE=CF，∴△AME≌△CMF(AAS)，∴EM=FM，在△BEM和△BFM中，BE=BFBM=BMEM=FM，∴△BEM≌△BFM(SSS)，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED//BN，∴∠APF=∠AMN，∴∠APD=∠BMF，选项②正确；在△AEM中，EM≠2AM，选项③错误；∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD//FC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项④正确；∵EF为△ABC的中位线，
∴EF//AC，且EF=12AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC=BE2+BC2=5y，∴3x=5y，即x：y=5：3，∴EM：BE=5：3，选项⑤正确；∵E为AB的中点，EP//BM，∴P为AM的中点，∴S△AEP=S△EPM=12S△AEM，又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=13S△ABF，∵四边形ABFD为矩形，∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=13S梯形ABCD，∴S△EPM=118S梯形ABCD，选项⑥正确．则正确的个数有5个．故答案为①②④⑤⑥连接DF，AC，EF，分别证明△ABF≌△CBE、△AME≌△CMF和△BEM≌△BFM，进而得到①结论正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；直接判断出选项③错误；先证明四边形AFCD为平行四边形，进而判断出△CED为等腰三角形，选项④正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC
，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项⑤正确；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的13，结合矩形的知识即可判断出⑥结论正确．此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．19.答案：-8 -3 2解析：解：∵-23+5=-18，-18+5=-13，-13+5=-8，-8+5=-3，-3+5=2，∴-23，-18，-13，-8，-3，2．故答案为：-8，-3，2．观察各数，可以发现后面一个数比前面一个数大5，依此作答．本题考查了规律型：数字的变化，解题的关键是发现相邻的两个数的差相等．20.答案：解：(1)432+50-38=162+52-62=152；(2)45-1255+3=9-25+3=-13；(3)3+(4)2⋅13-0.3⋅0.4=3+4×33-35=635；(4)(-22+33)2=8-126+27=35-126；(5)312-413-227=63-433-63=-433；(6)(1+2)(1-3)=1-3+2-6．解析：根据二次根式的混合运算的法则进行计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键．21.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BC，AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，BO=DO，∴BO-BE=DO-DF，即OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；(2)解：△ADE是直角三角形，理由是：∵AC=4，BD=8，AO=CO，BO=DO，∴AO=2，BO=DO=4，∵BE=3，∴OE=4-3=1，DE=DO+OE=4+1=5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=AO2+DO2=22+42=20，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2=AO2+OE2=22+12=5，∵DE2=52=25，∴AD2+AE2=DE2，∴∠DAE=90°，即△ADE是直角三角形．解析：(1)根据菱形的性质得出AC⊥BC，AO=CO，BO=DO，求出OE=OF，再根据菱形的判定得出即可；(2)根据菱形的性质求出AO=2，BO=DO=4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2=20，AE2=5，求出AD2+AE2=DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．22.答案：解：(1)原式=m2n2⋅nm÷(-mn2)=mn×(-n2m)=-n；(2)原式=a-1a-2×(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)=a+2a+1；(3)原式=x+3-(x-3)(x-3)(x+3)=x+3-x+3(x-3)(x+3)=6(x-3)(x+3)；(4)原式=(x+2)(x-2)-x(x+1)x(x-2)÷x+4x(x-2)
=-(x+4)x(x-2)×x(x-2)x+4=-1．解析：(1)先算乘方，再算乘除即可；(2)根据分式的除法法则进行计算即可；(3)根据分式的减法法则进行计算即可；(4)根据分式混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．23.答案：证明：(1)∵四边形OEFG和四边形ABCD是正方形，∴AO=DO，OE=OG，∠AOD=∠GOE=90°，∴∠AOG=∠DOE，在△AOG和△DOE中，AO=DO∠AOG=∠DOEGO=EO，∴△AOG≌△DOE(SAS)，∴AG=DE；(2)∵DE//OC，∴∠DOC+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∵△AOG≌△DOE，∴∠GAO=∠ODE=90°．解析：(1)由“SAS”可证△AOG≌△DOE，可得AG=DE；(2)由全等三角形的性质可求∠GAO=∠ODE=90°．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24.答案：解：设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得1x+11.5x=112，解得：x=20，经检验，x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30．
答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天．解析：设甲公司单独完成此工作x天，则乙公司单独完成此项工作1.5x天，根据甲乙两公司合作，12天可以完成，列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25.答案：解：(1)如图1中，设AC交BD于点O．∵∠ACE是由△ABD旋转得到，∴∠ABO=∠PCO，∵∠AOB=∠POC，∴△AOB∽△POC，∴AOOP=OBOC，∴AOOB=OPOC，∵∠AOP=∠COB，∴△AOP∽△BOC，∴∠APO=∠OCB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=∠ABC=180°-α2，∴∠APB=180°-α2．(2)如图2中，连接AM，AN，设AM交BD于点O．
∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=12α，同法AN⊥DE，∠EAN=∠DAN=12α，∴cos∠BAM=cos∠DAN，∴AMAB=ANAD，∴AMAN=ABAD，∵∠MAN=α+∠CAD，∠BAD=α+∠CAD，∴∠BAD=∠MAN，∴△MAN∽△BAD，∴∠ABO=∠OMG，∵∠AOB=∠GOM，∴∠PGH=∠MGO=∠BAO=12α，同法可证：∠PHG=∠EHN=∠EAN=12α，∴∠PGH=∠PHG，∴PG=PH，由(1)可知：∠APB=180°-α2，同法可证：∠APE=180°-α2，∴∠APG=∠APH，∴PA⊥GH，即PA⊥MN．(3)如图3中，在PB上取一点H，使得PH=PC．
∵α=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，由(1)可知：∠BPC=∠BAC=60°，∵PH=PC，∴△PHC是等边三角形，∴CH=CP，∠HCP=60°，∴∠BCA=∠HCP，∴∠BCH=∠ACP，∴△BCH≌△ACP(SAS)，∴PA=BH，∴PB=PH+BH=PC+PA，∴PB-PC=PA，∴PA的值最大时，PB-PC的值最大，∵当点P与D重合时，PA的值最大，最大值为3，∴PB-PC的最大值为3．解析：(1)如图1中，设AC交BD于点O.利用相似三角形的性质证明∠APB=∠ACB即可解决问题；(2)如图2中，连接AM，AN，设AM交BD于点O.想办法证明PG=PH，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；(3)如图3中，在PB上取一点H，使得PH=PC.利用全等三角形的性质证明PB-PC=PA，PA的值最大时，PB-PC的值最大；本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
