山东省泰安市新泰市2022-2022学年八年级上学期期中数学试题一、选择题：本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分。1．在中，分式的个数是()A．2B．3C．4D．52．使分式有意义的x的取值范围是()A．x≤3B．x≥3C．x≠3D．x=33．下列图形中，轴对称图形的个数是()A．1B．2C．3D．44．下列说法正确的是()A．等边三角形只有一条对称轴B．等腰三角形对称轴为底边上的高C．直线AB不是轴对称图形D．等腰三角形对称轴为底边中线所在直线5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是()A．SASB．ASAC．AASD．SSS6．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为()A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是()23A．10B．15C．20D．308．下列等式成立的是()A．+=B．=C．=D．=﹣9．计算的结果是()A．0B．1C．﹣1D．x10．化简的结果是()A．x+1B．x﹣1C．﹣xD．x11．化简：（a+）（1﹣）的结果等于()A．a﹣2B．a+2C．D．12．如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值()A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍13．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A．AB=DC，AC=DBB．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠DD．AB=DC，∠A=∠D2314．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A．1对B．2对C．3对D．4对15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为()A．40°B．45°C．60°D．70°16．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于()A．∠EDBB．∠BEDC．∠AFBD．2∠ABF17．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是()A．B．C．D．2318．已知，则代数式的值为()A．﹣8xyB．﹣8C．﹣4D．419．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B重合，点C落到G处，折痕为EF，若∠ABE=20°，则∠EFG的度数为()A．125°B．120°C．135°D．150°20．在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于所成的锐角是40°，则∠B=()A．40°或60°B．65°C．25°或65°D．35°或125°二、填空题：本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分。21．已知分式的值为零，那么x的值是__________．22．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为__________cm．23．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=21°，则∠ABP的度数为__________．2324．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是__________．三、解答题：本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。25．（1）先化简，再求代数式的值，其中a=．（2）已知，求A、B的值．26．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l．27．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．2328．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．29．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=1，求AD的长．232022-2022学年山东省泰安市新泰市八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分。1．在中，分式的个数是()A．2B．3C．4D．5【考点】分式的定义．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：在中，分式有，∴分式的个数是3个．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以象不是分式，是整式．2．使分式有意义的x的取值范围是()A．x≤3B．x≥3C．x≠3D．x=3【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣3≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．故选：C．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3．下列图形中，轴对称图形的个数是()23A．1B．2C．3D．4【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，共3个轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．下列说法正确的是()A．等边三角形只有一条对称轴B．等腰三角形对称轴为底边上的高C．直线AB不是轴对称图形D．等腰三角形对称轴为底边中线所在直线【考点】轴对称的性质．【分析】根据轴对称的性质可知．【解答】解：A、等边三角形有三条对称轴，即三条高，错误．B、等腰三角形对称轴为底边中线所在直线，错误；C、直线AB是轴对称图形，错误；D、正确．故选D．【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是()A．SASB．ASAC．AASD．SSS【考点】全等三角形的应用．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，23∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．6．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为()A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，2）关于x轴的对称点为A′，∴A′点的坐标为：（﹣3，﹣2）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是()A．10B．15C．20D．30【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故选B【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．8．下列等式成立的是()23A．+=B．=C．=D．=﹣【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=，错误；B、原式不能约分，错误；C、原式==，正确；D、原式==﹣，错误，故选C【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．计算的结果是()A．0B．1C．﹣1D．x【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，变形后约分即可得到结果．【解答】解：原式==﹣=﹣1．故选C【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．10．化简的结果是()A．x+1B．x﹣1C．﹣xD．x【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣23===x，故选：D．【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．11．化简：（a+）（1﹣）的结果等于()A．a﹣2B．a+2C．D．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：•=•=a+2．故选B．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值()A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍【考点】分式的基本性质．【分析】把分式中的x和y都扩大5倍，根据分式的基本性质化简即可．【解答】解：==5×，故把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值扩大5倍．23故选：A．【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．13．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A．AB=DC，AC=DBB．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠DD．AB=DC，∠A=∠D【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．【解答】解：A、AB=DC，AC=DB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=DC，∠ABO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、具备条件AB=DC，BC=BC，∠∠A=∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()23A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．2315．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为()A．40°B．45°C．60°D．70°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．16．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于()A．∠EDBB．∠BEDC．∠AFBD．2∠ABF【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，23∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．17．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是()A．B．C．D．【考点】作图—复杂作图．【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．【解答】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选D．【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．已知，则代数式的值为()A．﹣8xyB．﹣8C．﹣4D．4【考点】分式的化简求值．【分析】先根据题意得出x﹣y=﹣3xy，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵﹣=3，∴x﹣y=﹣3xy，∴原式=23==4．故选D．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B重合，点C落到G处，折痕为EF，若∠ABE=20°，则∠EFG的度数为()A．125°B．120°C．135°D．150°【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】由折叠的性质知：∠EBG、∠BGF都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥GF，那么∠EFG和∠BEF互补，即可解答．【解答】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBG=∠D=90°，∠BGF=∠C=90°，∴BE∥GF，∴∠EFG+∠BEF=180°，又∵∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠BEF=∠DEF=55°，∴∠EFG=180°﹣55°=125°．故选A．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．20．在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于所成的锐角是40°，则∠B=()A．40°或60°B．65°C．25°或65°D．35°或125°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先根据题意作图，分别从AB的垂直平分线与线段，与CA的延长线相交所成的锐角为40°去分析，根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案．【解答】解：如图①：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°，∵AB=AC，∠A=∠DAE=50°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°；23如图②：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°，∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=25°；故选C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．二、填空题：本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分。21．已知分式的值为零，那么x的值是1．【考点】分式的值为零的条件．【专题】计算题．【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．【解答】解：根据题意，得x2﹣1=0且x+1≠0，解得x=1．故答案为1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．22．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为6cm．23【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．23．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=21°，则∠ABP的度数为33°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+21°+60°=180°，求出方程的解即可．【解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，∴3∠ABP+21°+60°=180°，解得：∠ABP=33°．故答案为：33°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．24．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是30°．【考点】轴对称-最短路线问题．23【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。25．（1）先化简，再求代数式的值，其中a=．（2）已知，求A、B的值．【考点】分式的化简求值；分式的加减法．【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可；（2）先把等式的右边通分，再与左边相比较即可得出结论．【解答】解：（1）原式=﹣•23=﹣=，当a=时，原式==；（2）右边==，∴A+B=5，2A﹣5B=5，解得A=3，B=2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l．【考点】作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图1过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图2，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．27．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．23【考点】作图-轴对称变换．【分析】分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．【解答】解：所作图形如图所示：．A1（3，﹣1），B1（2，﹣4），C1（1，﹣2）．【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．28．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°．【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，23，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．29．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=1，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，23在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=1，在Rt△CDF中，CF==，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=，∴AD=AF+DF=1+．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．23
