高二理科数学下册期末质量评估试题数学（理科）2022.07一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的值是 A．B．C．D．2.抛物线的焦点坐标是A．B．C．D．3.已知，则向量的夹角为A．B．C．D．4.已知函数,则等于A．B．C．D．5.下列四个命题：①“，”是全称命题；②命题“，”的否定是“，使”；③若，则；④若为假命题，则、均为假命题．其中真命题的序号是A．①②B．①④C．②④D．①②③④6.已知：，:,若是的充分条件，则的取值范围为A．B．C．或D．或7．到两定点距离之和为的点的轨迹方程是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-12-/12\n（第8题）A．B．C．D．8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为，且⊥底面，为的中点，为的重心，则的值为A．B．C．D．xyO12–2（第9题）9.右图是函数的导函数的图象，下列说法错误的是A．是函数的极小值点；B．是函数的极值点；C．在处切线的斜率大于零；D．在区间上单调递增.10．在中，，顶点在椭圆上，顶点为椭圆的左焦点，线段过椭圆的右焦点且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．11.已知函数满足,则函数的图象在处的切线方程为A．B．C．D．12.已知点为椭圆和双曲线的一个交点，点、分别是椭圆的左、右焦点，则的余弦值是A．B．C．D．13.设是边长为的等边三角形，是内任意一点，到三边的距离分别为-12-/12\n，根据三角形、、的面积之和等于的面积，可得为定值，由此类比：是棱长为3的正四面体内任意一点，且到各面的距离分别为，则的值为A．B．C．D．14.已知点是双曲线右支上的任意一点,由点向双曲线的两条渐近线引垂线,垂足为和，则的面积为A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）15．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则▲．16．已知（其中、是实数，是虚数单位），则▲．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mABD1C1B1A1DCE（第18题）17.设向量且则▲．18．如图，在正方体中，是中点，则与平面所成角的正弦值为▲．19.已知，记,,…,,则 ▲ ．20.若在圆内作条弦，两两相交，将圆最多分割成部分，有，则的表达式为 ▲ ．三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21．(本题满分6分)设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点.若命题-12-/12\n和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．22.(本题满分8分)已知数列满足.（Ⅰ）求，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）令且，判断数列是否为等比数列？并说明理由.23.（本题满分8分）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，在底面上的射影落在正方形内，的长为，到的距离分别为和,是的中点．（Ⅰ）求证：平面底面；（Ⅱ）设是棱上的一点，若，求平面与底面所成的锐二面角余弦值的大小．-12-/12\n（第23题）24.(本题满分8分）已知椭圆的长轴长为，分别为其左、右焦点，抛物线的焦点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过焦点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．25.(本题满分10分）已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线 的斜率． （Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）令，试讨论函数在区间上零点的个数（为自然 对数的底数，）．-12-/12\n台州市2022学年第二学期高二期末质量评估试题数学答题卷（理科）2022.07题号一二三总分2122232425得分一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内）题号1234567891011121314答案二、填空题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）15.．16.．17．．18．．19.．20．.三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21．(本题满分6分)设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点．若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -12-/12\n22.(本题满分8分)已知数列满足.（Ⅰ）求，并猜想数列的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）令且，判断数列是否为等比数列？并说明理由. 23.（本题满分8分）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，在底面上的射影落在正方形内，的长为，到的距离分别为和,是的中点．（Ⅰ）求证：平面底面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）设是棱上的一点，若，求平面与底面所成的锐二面角余弦值的大小．-12-/12\n24.(本题满分8分）已知椭圆的长轴长为，分别为其左、右焦点，抛物线的焦点为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过焦点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值． 25.(本题满分10分）已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线 的斜率． （Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）令，试讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数，）．-12-/12\n台州市2022学年第二学期高二期末质量评估试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内）题号1234567891011121314答案DCACBABABDADBC二、填空题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）15．216．17．18．19．20．．三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21．解：若命题为真命题，则对恒成立，∴，得；………………2分若命题为真命题，则方程组有两组不同的解，即有两个不等根，∴，得；…………………………4分那么，命题为真命题而命题为假命题时，即且，得；命题为假命题而命题为真命题时，即，得，；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴当命题和命题中有且只有一个是真命题时，．…………6分22.解：（Ⅰ）∵，∴，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-12-/12\n同样可得，，猜想……………………………4分（Ⅱ）不是等比数列.方法一:由得，故不是等比数列.……………………………………………8分方法二:由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，故不是等比数列.………………………………………8分23.解：（Ⅰ）是顶点在底面上的射影，底面，又平面，平面底面……………………………………………3分（Ⅱ）如图，以为原点，以垂直的直线为轴，垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由正方形长为4，且到的距离分别为2、1，得，，，,,，,是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，由得,不妨取，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-12-/12\n平面与底面所成锐二面角的余弦值的大小为……………8分24.解：（Ⅰ）由可知，，所以椭圆的方程为：……………………………4分 （Ⅱ）因为过点的直线与椭圆交于两点，可设直线方程为：，，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所以令，则，所以，而在上单调递增，所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3……………………………8分25.解：（Ⅰ）由题意知，∴.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，，在上递增； 当时，，在上递减.所以，的最大值为.……………………………4分（Ⅱ），且因为，所以.当时，，当时，.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-12-/12\n所以在上是减函数，在上是增函数.所以，………………………7分下面讨论函数的零点情况．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m①当，即时，函数在上无零点； ②当，即时，，又，则而，，∴在上有一个零点；③当，即时，,由于，，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所以，函数在上有两个零点. 综上所述，在上，有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.……………10分-12-/12
