2022—2022学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.）1.设为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限2.函数的定义域为（）3.下列结论错误的是（）命题“若，则”的逆否命题是“若，则”命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题“”是“”的充分条件命题“若，则且”的否命题是“若，则或”4.若实数，满足，则目标函数的最大值为（）5.在等差数列中，若，则的值为（）6.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（）7.对于直线，和平面，，的一个充分条件是（），，，，，，，，-10-\n8.若函数满足，，且的最小值为，则函数的单调递增区间为（）第10题9.设是内一点，且，.定义，其中分别是的面积.若，则的最小值是10.已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式为（）11.已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面垂直于平面，在中，，，，则球的外接球的表面积等于12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，，且，则下列结论成立的是（）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.若,，成等差数列，则的值等于________.-10-\n222222114.的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为，参照上述方法，可求得的所有正约数之和为.15.某几何体的三视图如右图,则此几何体的体积为.16.已知，（其中为自然对数的底数），方程有四个实数根，则实数的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边,其中为锐角，，,且，求，和的面积．18．（本小题满分12分）已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直，，为的中点，，垂足为.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求二面角的大小.19．（本小题满分12分）已知首项都是的数列，满足.（Ⅰ）令，求数列的通项公式；-10-\n（Ⅱ）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和.20.（本小题满分12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.小岛对小岛与的视角为钝角，且.（Ⅰ）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（Ⅱ）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值.21.（本小题满分12分）数列，的每一项都是正数，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列，的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.22.（本小题满分12分）已知函数（其中是实数）.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若设，且有两个极值点，（），求的取值范围.（其中为自然对数的底数，）.-10-\n20222022学年度上学期期中考试高三理科数学参考答案一、选择题1～6：CDBACC7～12：CADABD二、填空题13．14.15.16.三、解答题17.解:（Ⅰ），…………………………………………………2分.………………4分因为，所以.…………………………………………………………5分（Ⅱ），因为，，所以，.……………7分则，所以，即，则……9分从而.………………………………………10分18．（Ⅰ）证明：连结交于，连结.因为为中点，为中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.……………………………………………………………4分（Ⅱ）因为正方形和矩形所在平面互相垂直，所以平面.以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.，，，，，设平面的法向量为，，.…………………………6分设平面的法向量为，，.…………………………………………8分设与的夹角为，……………………………………………………10分所以二面角的大小为.………………………………………………………12分-10-\n19.解：（Ⅰ）由题意可得，，两边同除以，得，又，，…………………………………………………………………3分又，数列是首项为，公差为的等差数列.，.…………………………………………………………5分（Ⅱ）设数列的公比为，，，整理得：，，又，，，………………………7分…………………………………………………………………8分…………①…………②……………9分①—②得：………………………………………………10分………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ），且角为钝角，.在中，由余弦定理得，，，，解得或（舍），小岛与小岛之间的距离为.…………………………………………………………2分，，，四点共圆，角与角互补.-10-\n，.在中，由余弦定理得，，，，解得（舍）或.……………………………………………………………………4分，四个小岛所形成的四边形的面积为平方.………………………………………………6分（Ⅱ）在中，由正弦定理，，即，解得.，为锐角，.……………………………………………8分又，.………………………………………………………10分.……………12分21.解：(Ⅰ)由题意得，可得.由，可得.……………………………………………………………………2分(Ⅱ)因为，，成等差数列，所以，————————①因为，，成等比数列，所以，因为，的每一项都是正数，所以，————————②于是，当时，，————————③将②③代入①式，可得，因此数列是首项为，公差为的等差数列，所以，于是，………………………………………6分由③式，可得当时，当时，，满足上式，所以对一切正整数，都有.……………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，所证明的不等式为-10-\n.【方法1】首先证明即证，即证，即证，所以当时，.当时，.综上所述：对一切正整数，有.……………………………………12分【方法2】.当时，当时，；当时，.综上所述：对一切正整数，有.…………………………………12分【方法3】当时，.当时，；当时，；当时，.综上所述：对一切正整数，有.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）的定义域为，，-10-\n令，，对称轴，，（1）当，即时，，于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）当，即或时，①当时，恒成立，于是，的单调递增区间为，无减区间.②当时，令，得，，当时，，当时，.于是，的单调递增区间为和，单调递减区间为.综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若有两个极值点，则，且，，………………………………………………………6分又，，，，又，解得，…………………………………8分于是，………………………………………………………………10分令，则恒成立，在上单调递减，，即，故的取值范围为.………………………………………………12分-10-\n-10-
