福建省仙游一中2022-2022学年下学期第二次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）参考数据和公式：2×2列联表公式：，的临界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题（每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）A.互斥事件B.对立事件C.相互独立事件D.不相互独立事件2.已知随机变量～，，则的值是（）A．8 B．10C．12D．143.若复数(是虚数单位)，则（）A．B．C．D．4．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是( )．A.B.C.D.5.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别是，，，…，；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．问：当时，第行的第个数是（）A．B．C．D．6.已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是()A．B．C．D．7.设，，，则的大小关系为()12\nA．B．C．D．8.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是()A.P(k)对k=2022成立B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立9.已知为自然对数的底数，设函数，则()A.当时，在处取得极小值B.当时，在处取得极小值C.当时，在处取得极大值D.当时，在处取得极大值10.如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB与△COD同色且△BOC与△AOD也同色的概率（）ABCD二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)11.在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是12、=___________.13.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选选3人参加学校的义务劳动。设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B︱A）=______.14.计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ．15．下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④函数的单调递增区间是12\n其中真命题为______．(填序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知展开式中偶数项二项式系数的和比展开式的各项系数和大112。（1）求n;（2）在（1）的条件下，求展开式中系数最大的项；（3）求展开式中的所有的有理项。17.（本小题满分13分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.（提示：可参考试卷第一页的公式.）18．（本小题满分13分）已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。12\n19．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望；（Ⅲ）求概率．20.（本小题满分14分，每小题7分）已知大于1的正数满足（1）求证：（2）求的最小值。21（本小题满分14分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．12\n仙游一中2022-2022学年下学期第二次月考高二数学（理科）试题答案（考试时间：120分钟总分：150分）参考数据和公式：2×2列联表公式：，的临界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题（每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是（C）A.互斥事件B.对立事件C.相互独立事件D.不相互独立事件2.已知随机变量～，，则的值是（B）A．8 B．10C．12D．143.若复数(是虚数单位)，则（D）A．B．C．D．4．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是( B )．12\nA.B.C.D.5.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别是，，，…，；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．问：当时，第行的第个数是（A）A．B．C．D．6.已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是(C)A．B．C．D．7.设，，，则的大小关系为(A)A．B．C．D．8.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是(D)A.P(k)对k=2022成立B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立9.已知为自然对数的底数，设函数，则(B)A.当时，在处取得极小值B.当时，在处取得极小值C.当时，在处取得极大值D.当时，在处取得极大值10.如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB与△COD同色且△BOC与△AOD也同色的概率（C）ABCD二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)11.在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是912、=_______1______.13.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选选3人参加学校的义务劳动。设12\n“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B︱A）=______.14.计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ．15．下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④函数的单调递增区间是其中真命题为__③_④_____．(填序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知展开式中偶数项二项式系数的和比展开式的各项系数和大112。（1）求n;（2）在（1）的条件下，求展开式中系数最大的项；（3）求展开式中的所有的有理项。16解：（1）；n=4……………3分(2)从而展开式中系数最大的项是：……6分（3）设有理项为第r+1项，则令……10分即所以第2项，第5项，第8项为有理项，它们分别是：；；……13分12\n17.（本小题满分13分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.（提示：可参考试卷第一页的公式.）解：（Ⅰ）男性女性合计反感10616不反感6814合计161430……………3分设：反感“中国式过马路”与性别与否无关由已知数据得：，所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关.………6分（Ⅱ）的可能取值为……9分所以的分布列为：012的数学期望为：……………13分12\n18．（本小题满分13分）已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得。19．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望；（Ⅲ）求概率．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）的分布列为：012345612\n（Ⅱ）数学期望为．（Ⅲ）所求的概率为．20.（本小题满分14分，每小题7分）已知大于1的正数满足（1）求证：（2）求的最小值。证明：（1）由柯西不等式得：得：（2）由柯西不等式得：，所以，得所以，当且仅当时，等号成立。故所求的最小值是3。12\n21（本小题满分14分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）由题意，≥0在上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，…………2分只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．…3分（2）由（1），得．．…4分∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立．……5分等价于，即，而，（）max=1，∴．…………7分等价于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．…………9分（3）构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．……………11分12\n当时，．…………12分因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．…………14分12
