株洲市二中2022年下学期高二年级第三次月考考试试卷理科数学试题时量：__120__分值：150分一：选择题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。1.i是虚数单位，则的模为( )A.B.C.D．22.下面四个条件中，使a>b成立的充要条件是( )A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b33.函数y＝x2－lnx的单调递减区间为( )A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．5．（）A．1B．e﹣1C．eD．e+16.若曲线f（x）＝x4－2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则点P的坐标为（）A．（1,1）B．（1，－1）C．（－1,1）D．（－1，－1）7.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为,则（ ）A．4B.5C．6D．78.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为()A.B.C.D.9.已知数列：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2013项a2013满足( )A．0<a2013<B.≤a2013<1C．1≤a2013≤10D．a2013>109\n11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，连接交轴于点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.10.已知函数，则其导函数的图象大致是（）12.在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0；④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二：填空题（本大题满分20分）本大题有4题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。13.命题“存在R，0”的否定是.14.若函数在处取极值，则15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为,此三棱锥内任9\n一点到第个面的距离记为,若,则.16.如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P（，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为。三：解答题（本大题满分70分）本大题共6题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤。17.（10分）设命题p：（4x-3）2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.（12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(1)证明A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．19（12分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线上．9\n（1）求双曲线的方程；（2）以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程．20.（12分）已知函数在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（1）求a的取值范围；（2）求函数在[0，+∞）上的最大值；21.（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.22.（12分）设函数f(x)＝ln＋(a>0)．(1)若函数f(x)在区间(2,4)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)求证：当n∈N*且n≥2时，＋＋＋…＋<lnn.9\n9\n参考答案1—12题BDBDCBBCACCC13.略14.315.3V/316.4π+117.(10分)设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴故所求实数a的取值范围是［0，］.18.以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)．(1)∵·＝0，·＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥DE.又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE.(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥，n⊥.∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．∴cos〈n，n〉＝＝.∵〈n，〉等于二面角A1－DE－B的平面角，∴二面角A1－DE－B的余弦值为.9\n19.（1）由已知双曲线C的焦点为由双曲线定义所求双曲线为（2）设，因为、在双曲线上①－②得弦的方程为即经检验为所求直线方程．20.（1）的导数为，因为函数在（1，+∞）上是增函数，所以在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，所以只需，又因为a＞0，所以a≥1；（2）因为x∈[0，+∞），所以所以在[0，+∞）上单调递减，所以在[0，+∞）上的最大值为．21.(1)由，得，即，①又以原点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，9\n且与直线相切，所以，代入①得c=2,所以.所以椭圆的方程为.(4分)(2)由得，设,所以，，（8分）根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值，则有（10分）要使上式为定值，即与k无关，则应，即，此时为定值，定点为.（12分）22.(1)解 f′(x)＝×＋＝＋＝＝(x>－1)，∴f(x)在(－1，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)为增函数，∴f(x)在x＝－1处取得极小值．依题意解得<a<.所以实数a的取值范围是(，)．(2)解 依题意解得a≥1.9\n所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．(3)证明 方法一 由(2)知：当a＝1时，f(x)＝ln＋在[1，＋∞)上为增函数，∴当x>1时，有f(x)>f(1)＝0，即x>1时，ln＋>0，得ln>－(x>1)．取－＝(n≥2)，则x＝>1，＝，即ln>(n≥2)，∴＋＋＋…＋<ln2＋ln＋ln＋…＋ln＝lnn.方法二 由于lnn＝ln(··…··)＝ln2＋ln＋…＋ln＋ln，从而只需证明ln>(n≥2)．考查函数g(x)＝lnx－＝lnx＋－1(x>1)，而g′(x)＝－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数，所以g(x)min＝g(1)＝0，所以x>1时，g(x)>0，令x＝，ln>(n≥2)，则lnn＝ln2＋ln＋…＋ln>＋＋…＋，所以命题得证．9
