湖北省2022届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学（理）试题A本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列命题中错误的是A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．若，则“”是“”成立的充要条件C．已知命题和，若为假命题，则命题和中必一真一假D．对命题：，使得，则：，则3．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则9判断框中应填A．B．C．D．5．设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是A．B．C．D．6．在中，，，，D、C分别是线段AB和OB的中点，则22侧视图俯视图A．B．C．D．7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为2211A．211B．211C．211D．8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是A．B．C．D．99．设点是双曲线右支上一动点，分别是圆和上的动点，则的取值范围是A．B．C．D．10．是定义在上的函数，对于，有成立，且当时，．给出下列命题：①；②函数是偶函数；③函数只有一个零点；④．其中正确命题的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．(一)必考题（11—14题）11．已知函数则=__________．11123161161245035101……………………………12．若的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的倍，则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________；（Ⅱ）第行的第二个数是___________．（用表示）14．已知直角三角形的三内角，，的对边分别为，，，且不等式恒成立，则实数的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连结BC并延长交圆O于点D，则CD=．16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为9极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．设直线与曲线C交于，两点，则=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数（）在处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A、B两种型号的客车运送旅客，A型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B型车发车时刻可能是9：00，9：20，9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表：频数频率A型车8：00发车250．25A型车8：20发车m0．50A型车8：40发车250．25B型车9：00发车250．25B型车9：20发车500．50B型车9：40发车25n（Ⅰ）直接写出表中的m，n的值；（Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设(），问:是否存在非零整数，使数列为递增数列．20．（本小题满分12分）ABCNMPA1B1C1如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上．（Ⅰ）证明：AM⊥PN；（Ⅱ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知平面内一动点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；9（Ⅱ）过点（）作倾斜角为的直线与曲线相交于，两点，若点始终在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围；（Ⅲ）过点（）作直线与曲线相交于，两点，问：是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设且证明：；（Ⅲ）设，，且，如果，证明：．一、选择题：1．D2．C3．B4．D5．D6．B7．C8．C9．A10．C二、填空题：11．12．13．274；14．15．16．0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f(x)＝2sinx·＋cosxsinφ－sinx＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．∵f(x)在x＝π处取最小值，∴sin(π＋φ)＝－1，∴sinφ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝sin(x＋)＝cosx．由f(A)＝，得cosA＝．∵角A是△ABC的内角，∴A＝．9由正弦定理＝，得＝，∴sinB＝．∵b＞a，∴B＝，或B＝．当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝；当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝．故C＝，或C＝．………………………………12分18．解：（Ⅰ）m=50，n=0．25．………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A，B，则A，B互斥．．…………………………………5分（ⅱ）可能取值为，则，，，，．的分布列是30．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为（d≠0），由题意，知，．于是解得．．………………………………………………………4分（Ⅱ）∵，∴．920．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，．由题意，可设．（Ⅰ）∵，，．∴AM⊥PN．………………………6分（Ⅱ）设是平面PMN的一个法向量，，则即得令x=3，得y=1+2，z=2-2，∴．若存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，则|cos<>|=．化简得．∵△＝100-4413＝-108<0，方程无解．∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º．……………12分21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为．由抛物线的定义，知P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．所以，动点P的轨迹C的方程为．……………………………………4分9（Ⅱ）由题意知，直线AB的方程为．代入，得．设，则．因为点始终在以线段为直径的圆内，为钝角．又，，，．即，．因此，．综上，实数的取值范围是．（Ⅲ）设过点的直线方程为，代入，得．设，则，．于是．的中点坐标为又．设存在直线满足条件，则．化简，得．所以，对任意的恒成立，所以解得，．所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切．…………13分22．解：（Ⅰ）．由，得；由，得．在单调递减；在单调递增．在取最小值．………………………………………………4分（Ⅱ）令，不妨设，9则．，．而是增函数，．，所以在是增函数．，即．．………………………………8分（Ⅲ）先证明．当时，由（Ⅱ）知不等式成立．假设当时，不等式成立，即．当时，，．．……………………………14分9
