高埂中学高2022级高三上学期收心考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算（i为虚数单位）等于（）A．1﹣iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．1+i2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则||=（）A．B．C．2D．53．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20B．5C．4（+1）D．45．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）ABCD6．（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种8．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数9．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）-9-\nA．计算数列的前10项和B．计算数列的前9项和C．计算数列的前10项和D．计算数列的前9项和10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=（）A.B.C.D.11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．12．若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）= __________．14．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为___________海里．15．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是__________．16．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数-9-\n（I）求函数的最小正周期；（II）若18.(本题满分12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．19.(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照，，,,的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．20.（本题满分12分）设椭圆E:=1（）过M（2，），N(,1)两点，为坐标原点．（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程．-9-\n21.（本小题满分12分）设，函数．（Ⅰ）当时，求在上的单调区间；（Ⅱ）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(理科)22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点．(Ⅰ)求证：DE∥AB；(Ⅱ)求证：ACBC=2ADCD．23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.24、（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当且时，解关于的不等式-9-\n高埂中学高2022级高三上学期收心考试数学参考答案（理科）一、选择题：CBADABCAABCB二、填空题：13．14．a15．16．3三、解答题:17.解：（Ⅰ）∵。....................4分∴函数的最小正周期。..................6分（Ⅱ）∵，∴，∴。........7分∵，∴，∴。................9分∴。.................................12分18.解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；-9-\nQ（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．19.（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，．3分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，则，，．所以，的分布列为123所以，．12分20.解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为-9-\n（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆的方程为：21.解：（Ⅰ）当时，，则，令，则.易知在上单调递减，又所以在上单调递减，又因为，所以当时，，从而，这时单调递增，当时，，从而，这时单调递减.-9-\n所以在上的增区间是减区间是……4分（Ⅱ）由题可知，则.根据题意方程有两个不等实数根且，令得，且，所以由，其中，得.将代入左式得：，整理得.即不等式对任意恒成立.……7分①当时，得②当时，即令，易知是上的减函数，所以，所以③当时，即.在上也是减函数，,所以综上所述……12分22．解：（Ⅰ）连接，因为为弧BC的中点，所以．因为为的中点，所以．因为为圆的直径，所以，所以．…5分（Ⅱ）因为为弧BC的中点，所以，又,则．又因为，，所以∽．所以，,.…10分ABCDEO-9-\n24.（1）因为所以-------------5分（2）时等价于当所以舍去当成立当成立所以，原不等式解集是-----------10分-9-
