高埂中学高2022级高三上学期收心考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算（i为虚数单位）等于（）A．1﹣iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．1+i2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（）A．B．C．2D．53．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20B．5C．4（+1）D．45．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）ABCD6．已知，，，则（）A.B.C.D.7．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l8．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数9．阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）A．S=2*i+4B．S=2*i﹣1C．S=2*i﹣2D．S=2*i-8-\n10．设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．12．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则()A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）= _____________．14．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为_____________海里．15．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是_____________．16．已知函数，对任意的,恒成立，则x的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知函数f（x）=2cos2x﹣2sin2（﹣x）﹣.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值．18、（本题满分12分）2022年“五一”期间，高速公路-8-\n车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图．（I）求这辆小型车辆车速的众数及平均车速(可用中值代替各组数据平均值)；（II）若从车速在的车辆中任抽取辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率.19、（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.20.(本题满分12分)已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点.（I）求抛物线和椭圆的标准方程；（II）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值.21、（本题满分12分）已知函数的导函数，且.设曲线在原点处的切线的斜率为，过原点的另一条切线的斜率为.（1）若：，求函数的单调区间；（2）若时，函数无极值，且存在实数使成立，求实数的取值范围.-8-\n请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(理科)22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.(1)求证：AT2＝BT·AD；(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.23．选修4—4：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（Ⅱ）若点在该圆上，求的最大值和最小值．24．选修4—5：不等式选讲已知，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式恒成立，求a的取值范围．-8-\n高埂中学高2022级高三上学期收心考试数学参考答案（文科）一、选择题：CBADACDADDCC二、填空题：13．14．a15．16．(-2,)三、解答题:17.解：（1）f（x）=（1+cos2x）﹣[1﹣cos（﹣2x）]﹣=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，由2k≤2x≤2k得：增区间为[k，k]，k∈Z（2）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]所以，当2x+=，x=时，f（x）的最大值为1．18．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于………2分这辆小型车辆的平均车速为：（）…………………………5分（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆）………6分车速在的车辆数为：（辆）……………………7分设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：共15种……………………9分其中车速在的车辆至少有一辆的事件有：共14种…………………11分所以，车速在的车辆至少有一辆的概率为.………………………12分19.解：（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面.-8-\n··············································4分··································8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得平面，又因为，四边形的面积，所以四棱锥的体积.同理，四棱锥的体积.所以多面体的体积.···············12分20.解析：（Ⅰ）抛物线上一点到其焦点的距离为；抛物线的准线为抛物线上点到其焦点的距离等于到准线的距离所以,所以抛物线的方程为椭圆的离心率,且过抛物线的焦点-8-\n所以，,解得所以椭圆的标准方程为(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为,设直线与椭圆交于则直线的方程为,联立方程组:所以,所以(*)由得:得:所以将(*)代入上式,得21．（1）由已知，设与曲线的切点为则所以，即，则.又，所以，即因此①当时，的增区间为和，减区间为.②当时，的增区间为和，减区间为.………..5分（2）由（1）若，则，∴，于是，所以，由无极值可知，，即，所以由知，，即，就是，-8-\n而，故，所以，又，因此.…………………..12分22.(Ⅰ)证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.又AT2＝AB×AD，所以AT2＝BT×AD．4分(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT＝∠DBT＝90°.所以∠A＝∠ATB＝45°.10分23.（Ⅰ）；圆的参数方程为5分（Ⅱ），那么x＋y最大值为6，最小值为2．10分24.（Ⅰ）表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，而-2对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为．5分（Ⅱ）若不等式恒成立，即恒成立．而的最小值为，∴，解得a≤1，故a的范围（-∞，1]10分-8-
