四川省2022年上学期棠湖中学高三数学理开学考试试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为A．2020B．2120C．2021D．21214．已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知实数x，y满足约束条件，则A．有最小值0B．有最大值C．有最大值0D．无最小值7/7\n6．设，随机变量X的分布列是：X-112P则当最大时的a的值是A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：）是A．B．C．D．8．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为A．B．C．D．9．已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于A．B．C．D．10．已知数列的前项和满足，则7/7\nA．B．C．D．11．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．12．已知实数、满足，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有①；②；③；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，其中，则______．14．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为____.15．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.16．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥7/7\n的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．18．（12分）某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为．x（万元）6781112141721y（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）．（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为．7/7\n（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．19．（12分）如图1所示，为矩形，四边形为正方形．与为全等的等腰梯形，其中，沿着，，，折成如图2所示的几何体，使，，，分别与，，，重合．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且7/7\n的面积为，求点的坐标．21．（12分）已知函数．（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：（2）已知，点是曲线上一点，点到曲线的最大距离为，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）7/7\n已知不等式的解集为.（1）求集合；（2）已知为集合中的最小正整数，若，，，且，求证：.7/7
