北京市昌平区2022届高三仿真模拟数学文科试卷7一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=(A)-1(B)0(C)2(D)2或-12．下列四个命题中，假命题为(A)，(B)，(C)，(D)，3．已知a>0且a≠1，函数，在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列中，，，则(A)(B)(C)(D)关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求，只能是周期性。ABCO5．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是(A)(B)(C)(D)这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。讲评时可再选一填空题进行复练。-14-xyO21-16．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)本题就是考查正弦函数的图象变换。最好采用排除法。考查的关键是A，ω，φ每一个字母的意义。7．已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则(A)3.25(B)2.6(C)2.2(D)0本题就是考查回归方程过定点。8．用表示a，b两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则k的取值范围是(A)(B)(C)(D)考查意图：考查学生对函数概念的理解。考察了学生数形结合的能力。试题分析：讲评时首先要从正面求解得到结论：有2个零点，即函数y=f(x)与直线y=kx有两个交点。然后从反面：排除法。本题一定是数形结合。首先k=0不成立，排除D，其次，二次函数的顶点是（4,12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A，B，得到结果。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数对应的点位于第象限．10．圆C：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．若，则函数的单调递增区间是．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．本题的关键是写对不等式组，考察学生写出不等关系，其次才是线性规划问题。13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．-14-11正视图侧视图20.62.4俯视图0.6ABCADP1P2P3P4P514．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为___．本题的关键是读懂题，读懂了就非常简单。三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求函数的最小值及取得最小值时的x值．三角函数部分虽然已经考过几次，但二次函数型仍然没有考过，请老师们在复练时一定要练习到。-14-16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．ABCEDFGFGEABC本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．-14-18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．-14-参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ABDCAABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ10．311．写成闭区间也给满分12．1513．1214．8，注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小值，及取得最小值时的x的值．解：（Ⅰ）∵，………………5分∴．………………7分（Ⅱ）∵∴．∴．………………9分∴，即．………………11分∴此时-14-∴．………………12分∴当时，．………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿直线CG将△CDG翻折成△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．ABCEDFGFGEABC证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，C的中点，∴EF为△的中位线．∴EF//．………………2分又∵平面，平面，………………4分∴EF//平面．………………6分（Ⅱ）∵G是AD的中点，，即，∴．又∵，，∴在中，∴．………………9分∴，．∵∩=，-14-∴平面．………………12分又∵平面，∴平面⊥平面．………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．解：（Ⅰ）分数在内的频率为：．………………3分（Ⅱ）平均分为：．………………6分（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人；………………7分分数段的人数为：人；………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为M．………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．-14-设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．事件包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为．………………13分18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）函数的定义域为∪，………………1分．………………3分∵时函数取得极小值，∴．………………4分∴．………………5分当时，在内，在内，………………6分∴是函数的极小值点．∴有意义．………………7分（Ⅱ）的定义域为∪，-14-．令，得．………………9分（ⅰ）当时，0极小值………………11分（ⅱ）当时，0极小值综上所述：………………13分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．-14-（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且，，………………1分∴，．………………2分∴椭圆C的标准方程为．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）………………5分∴或，………………7分即，，．所以．………………9分（ⅱ）证明：设，．椭圆的右顶点为，消y整理得，不妨设x1>0>x2，∴，；，-14-．……………12分………………13分∴为定值．………………14分20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且首项，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵数列的前项和为，且，∴当时，．当时，亦满足上式，故，．………………3分又数列为等比数列，设公比为，∵，，∴．∴．………………6分-14-（Ⅱ）．．所以．………………9分（Ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列，不妨设因为，所以，且三者成等差数列．所以，即，，即．（方法一）因为，所以，．所以，，所以与矛盾．所以数列中不存在成等差数列的三项．………………13分（方法二）所以，即．所以．因为，所以，均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列中不存在三项，使得-14-这三项成等差数列．………………13分-14-
