北京市昌平区2022届高三仿真模拟数学文科试卷2第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集，集合，，则=（A）（B）（C）（D）（2）设，那么“”是“”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）已知，，则=正视图11（A）（B）-1（C）（D）（4）双曲线的焦点到渐近线的距离为（A）2（B）3（C）4（D）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A）8（B）4（C）（D）（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是，，则向量与向量垂直的概率是（A）（B）（C）（D）（7）已知函数，则，，的大小关系是（A）（B）（C）（D）（8）已知点是的中位线上任意一点，且.设，，，的面积分别为，，，，记，，，定义．当取最大值时，则等于（A）（B）（C）（D）-14-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）设为虚数单位，复数满足，则.ASB北（10）已知向量，的夹角为，，，若，则实数的值为.（11）如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距nmile，则此船的航行速度是nmile/h.开始输出S结束是否（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是.（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：环数8910次数221则这5次射击的平均环数为；5次射击环数的方差为.（14）已知区域：则的最小值是；若圆C：与区域有公共点，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及值域；（Ⅱ）求的单调递增区间.-14-（16）（本小题满分13分）设是一个公差为的等差数列，，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求（用含的式子表示）.（17）（本小题满分13分）在长方形中，，，分别是，的中点（如左图）.将此长方形沿对折，使平面平面（如右图），已知，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.（18）（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；-14-（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值．（20）（本小题满分14分）对于整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；（Ⅱ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8的非“谐和集”，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.参考答案1.C【解析】分别把两个集合表示为，所以，2.B【解析】当时成立，若，则出现和两种情形。3.D【解析】由，得所以4.B【解析】由可知其中一个焦点为，一条渐近线方程为，所以5.C【解析】侧视图应为矩形，高为，宽为因此侧视图的面积为6.B【解析】连续抛两枚骰子分别得到的点数是，的情形共有种，而向量与向量-14-垂直，只需满足，共有种情况，所以7.A【解析】则函数在上单调递增，所以又因为是偶函数，8.A【解析】不难发现，，时取等号.所以9.【解析】把两边同乘以，则10.【解析】由得，所以11..【解析】由图可知所以此船的航行速度是nmile/h.12.【解析】依次做以下运算13.【解析】平均数为，方差为.14.【解析】画出不等式组对应的平面区域，则，显然过点时当圆与两直线分别相切时，利用点到直线距离公式求得和，显然当时圆C与区域有公共点。（15）【解析】（Ⅰ），……………………………4分则函数的最小正周期是.……………………………………………6分-14-函数的值域是.………………………………………8分（Ⅱ）依题意得.…………………………10分则.………………………………………12分即的单调递增区间是.…………………13分16.【解析】（Ⅰ）由，，成等比数列得：.…………2分解得.………………………………………………………4分数列的通项公式是=.…………………………………6分（Ⅱ）=.…………………………………………………8分则=…………………………………………………10分==.……………………………13分17.【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，.……………1分因为，分别是，的中点所以是△的中位线.……………2分所以∥∥，且.又因为是的中点，所以.所以∥，且.所以四边形是平行四边形.…………3分所以∥.-14-又平面，平面，…………………………………4分所以∥平面.……………………………………………5分（Ⅱ）因为，，且，所以平面.因为∥，所以平面.因为平面，所以.…………………………………6分又因为，且是的中点，所以.………………7分因为，所以平面.…………………………8分由（Ⅰ）知∥，所以平面.又因为平面，所以平面平面.…………………………………………10分解：（Ⅲ）由已知，长方形沿对折后，.所以.所以，且，.所以平面.即平面.……………………………………………………11分所以.……………………………………12分其中.所以.………………………13分18.【解析】（Ⅰ）的定义域是，.………………2分（1）当时，成立，的单调增区间为；……3分-14-（2）当时，令，得，则的单调增区间是.…………4分令,得，则的单调减区间是.…………5分综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是.………………………6分（Ⅱ）当时，成立，.………………………………7分当时，成立，即时，成立.设，…………………………………………………………9分所以=.………………………………10分当时，，函数在上为减函数；…………11分时，，函数在上为增函数.…………12分则在处取得最小值，.则.综上所述，时，成立的的范围是.…………13分19.【解析】（Ⅰ）由题意得……………………2分解得，．……………………………………………………4分故椭圆的方程为．……………………………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线方程为，-14-由得.……………………7分因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，解得．…8分设的坐标分别为，则，，………………………………………10分，．所以………………………………………12分．所以为定值．………………………………………14分20.【解析】（Ⅰ）因为，所以.…………………2分又因为，所以.……………………………4分（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”.…5分含有元素8的一个非“和谐集”.…7分当时，记，，记，则.-14-显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此. …………………………………………………10分下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.…12分以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.…………………………………………………14分【巩固部分】1-2已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】．2-5如图，三棱柱的侧棱长为4，底面是边长为2的正三角形，，正视图是长为4，宽为2的矩形,则该三棱柱的侧视图的面积为A．B．C．4D．【答案】A。【解析】根据正视图与左视图的高度相等，俯视图与左视图宽度一样，易知左视图的面积为.3-6抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是．-14-【答案】【解析】BDEACF4-8如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设（α、β∈R），则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C。【解析】建立如图坐标系,设AB=2,则,，则EC的方程:;CD的方程:。因P是△CDE内(包括边界)的动点，则可行域为又,则,,,所以得.5-10若向量满足，且,则向量的夹角等于A．B．C．D．【答案】C.【解析】-14-6-14设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是．【答案】【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）显然，只需研究过、两种情形，且即7-17如图,长方体中，,,是的中点.(Ⅰ)求证：直线平面；(Ⅱ)求证：平面平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积.(Ⅰ)证明：在长方体中,，又∵平面，平面∴直线平面.(Ⅱ)证明：在长方形中,∵,,∴,∴,故,∵在长方形中有平面,平面,∴,又∵,∴直线平面,而平面,-14-所以平面平面.(Ⅲ).8-19已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；（Ⅲ）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。解：（Ⅰ）双曲线的左右焦点为即的坐标分别为.所以设椭圆的标准方程为,则,且,所以,从而,所以椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设则，即.所以的值与点的位置无关，恒为。（Ⅲ）由圆：得，其圆心为，半径为，-14-由（Ⅱ）知当时，，故直线的方程为即，所以圆心为到直线的距离为，又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得圆心到直线的距离，所以，即，解得或。所以实数的值为或.-14-
