北京市昌平区2022届高三仿真模拟数学文科试卷1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5}，则（A）{1，2，3，4}（B）{1，2，4，5}（C）{1，2，5}（D）{3}（2）若复数（）是纯虚数，则的值为（A）0（B）2（C）0或3（D）2或3（3）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A）（B）正视图侧视图俯视图（C）（D）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（5）已知，且在第二象限，那么在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（6）已知点是抛物线：与直线：的一个交点，则抛物线的焦点到直线的距离是（A）（B）（C）（D）（7）△的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则等于（A）（B）（C）（D）（8）已知函数则函数的零点个数是（A）（B）（C）（D）-9-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知函数是定义域为的奇函数，且,那么 ．（10）不等式组所表示的平面区域的面积等于.（11）在△中，若，则.（12）某地为了建立调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为．相关人员数抽取人数公务员32教师48自由职业者644（13）已知某程序的框图如图，若分别输入的的值为，执行该程序后，输出的的值分别为，则．（14）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于的正整数，且，那么 ；若对于任意的，总存在，使得成立，则 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．-9-（16）（本小题共13分）已知数列的前项和为,且（）．（Ⅰ）证明:数列是等比数列；（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式．（17）（本小题共13分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面．(18)（本小题共13分）已知函数()．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在上的最小值．（19）（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形．（20）(本小题共14分)已知为两个正数，且，设当，时，．（Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；-9-（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）A（5）C（6）B（7）C（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为，且，所以，．因为所以．……………………6分（Ⅱ）因为，．因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值．-9-所以函数的值域为．…………………13分（16）（共13分）（Ⅰ）证明：由，时，，解得.因为，则，所以当时，，整理得.又，所以是首项为1，公比为的等比数列.……………………6分（Ⅱ）解：因为，由，得.可得＝，（），当时也满足，所以数列的通项公式为.……………………13分（17）（共13分）证明：（Ⅰ）连结，与交于点，连结．因为，分别为和的中点，所以∥．又平面，平面，所以∥平面．……………………6分（Ⅱ）在直三棱柱中，平面，又平面，-9-所以．因为，为中点，所以．又，所以平面．又平面，所以．因为四边形为正方形，，分别为，的中点，所以△≌△，．所以．所以．又，所以平面．……………………13分（18）（共13分）（Ⅰ）证明：当时，，当时，，所以在上是增函数．……………………5分（Ⅱ）解：，当时，，在上单调递增，最小值为．当，当时，单调递减；当时，单调递增．若，即时，在上单调递增，又，所以在上的最小值为．若，即时，在上单调递减；-9-在上单调递增．又，所以在上的最小值为．综上，当时，在上的最小值为；当时，在上的最大值为．………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则解得．所以椭圆方程为．……………………5分（Ⅱ）由题意，设直线的方程为．由得，设直线，的斜率分别为，设，则，．由，可得，，-9-．即．故直线，与轴始终围成一个等腰三角形．………………14分（20）(共13分)(Ⅰ)证明：易知对任意，，．由可知即．同理，，即．可知对任意，．，所以数列是递减数列．，所以数列是递增数列．……………………5分(Ⅱ)证明：．……………………10分（Ⅲ）解：由，可得．若存在常数使得对任意，有，则对任意，．即对任意成立．即对任意成立．-9-设表示不超过的最大整数，则有．即当时，．与对任意成立矛盾．所以，不存在常数使得对任意，有．……14分-9-
