2022-2022学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁UB=（ ）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x|x2≤4，x∈N}，则（ ）A．M=NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N=∅3．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A．{1，2，4}B．{4}C．{3，5}D．∅4．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）A．0或B．0或3C．1或D．1或35．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A．f（x）=3﹣xB．f（x）=x2﹣3xC．f（x）=D．f（x）=|x|6．已知f（x+1）=x2+1，则f（2）=（ ）A．5B．0C．3D．27．已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a8．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数9．已知函数f（x）=，若f（x）=17，则x=（ ）A．B．C．﹣4D．﹣4或418/1810．设函数f（x）是R上的奇函数，已知x∈（0，+∞），f（x）=2x，则f（x）在（﹣∞，0）上是（ ）A．增函数且f（x）＞0B．减函数且f（x）＜0C．增函数且f（x）＜0D．减函数且f（x）＞011．函数的图象的大致形状是（ ）A．B．C．D．12．对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；当f（x）=2x时，上述结论中正确的有（ ）个．A．3B．2C．1D．0 二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是 ．14．若函数f（x）=ax（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m= ．15．已知函数f（x）=2a﹣（a∈R）为R上的奇函数，则数a= ．16．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x218/18，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 三、解答题（共6小题，合计70分）17．（10分）化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．18．（12分）若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁UB）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）求f（x）在区间[3，5]上的最值．20．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（8）的值；（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．21．（12分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2）的最小值为g（a）．（1）求g（2）的值；（2）求g（a）的解析式．18/1822．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？ 18/182022-2022学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁UB=（ ）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】根据补集与交集的定义，写出∁UB与A∩∁UB即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁UB={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁UB={﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目． 2．设集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x|x2≤4，x∈N}，则（ ）A．M=NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N=∅【分析】化简集合M，N，即可得出结论．【解答】解：M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x|x2≤4，x∈N}={0，1，2}，∴M⊃N，故选C．【点评】本题考查集合的表示与关系，考查学生的计算能力，比较基础． 3．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）18/18A．{1，2，4}B．{4}C．{3，5}D．∅【分析】由图知，图中阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）．【解答】解：图中阴影部分表示的集合是∁U（A∩B），∵A∩B={3，5}，∴∁U（A∩B）={1，2，4}，故选：A．【点评】本题考查了集合运算的图形表示． 4．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值． 5．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A．f（x）=3﹣xB．f（x）=x2﹣3xC．f（x）=D．f（x）=|x|【分析】利用基本函数的单调性判断选项即可．【解答】解：f（x）=3﹣x是减函数；f（x）=x2﹣3x的对称轴为：x=，在（0，+∞）上不是增函数；18/18f（x）=，在（0，+∞）上为减函数；f（x）=|x|在（0，+∞）上为增函数．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的应用，基本函数的单调性是快速判断选项方法． 6．已知f（x+1）=x2+1，则f（2）=（ ）A．5B．0C．3D．2【分析】由已知中f（x+1）=x2+1，令x=1可得：f（2）【解答】解：∵f（x+1）=x2+1，令x=1则f（2）=2，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题． 7．已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a【分析】由于a∈（0，1），c∈（0，1），b=20.4＞20=1，故a、b、c中，b最大．再根据函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5＜0.40.2＜0.40=1，故c＞a，由此得到结论．【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4＞20=1，c=0.40.2∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5＜0.40.2＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选A．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 8．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数18/18【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题． 9．已知函数f（x）=，若f（x）=17，则x=（ ）A．B．C．﹣4D．﹣4或4【分析】由已知函数为分段函数，并且x＞0时函数值为负数，所以使得f（x）=17的x≤0时的解析式，解方程可得．【解答】解：由题意，f（x）=17，即x2+117，且x≤0，所以x=﹣4；故选C．【点评】本题考查了分段函数的解析式；关键是明确使得等式成立的方程是对应的分段函数的x≤0的解析式． 10．设函数f（x）是R上的奇函数，已知x∈（0，+∞），f（x）=2x，则f（x）在（﹣∞，0）上是（ ）A．增函数且f（x）＞0B．减函数且f（x）＜0C．增函数且f（x）＜0D．减函数且f（x）＞0【分析】18/18分析指数函数的单调性及函数值域，结合奇函数在对称区间上单调性相同，函数值相反，可得答案．【解答】解：∵x∈（0，+∞），f（x）=2x，此时函数为增函数且f（x）＞0，又由函数f（x）是R上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性相同，函数值相反，故f（x）在（﹣∞，0）上是增函数且f（x）＜0，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键． 11．函数的图象的大致形状是（ ）A．B．C．D．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣ax在y轴左侧的部分，因为a＞18/181，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题． 12．对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；当f（x）=2x时，上述结论中正确的有（ ）个．A．3B．2C．1D．0【分析】利用函数的性质验证命题的真假即可．【解答】解：当f（x）=2x时，①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2）；①正确；由①可知②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；不正确；③，说明函数是增函数，而f（x）=2x是增函数，所以③正确；所以正确的结论有2个，故选：B．【点评】本题考查函数的基本性质的应用，考查命题的真假的判断，是基础题． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是 {x|x≤0，且x≠﹣} ．【分析】根据分式函数的分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域．【解答】解：∵y=18/18∴即∴函数y=的定义域是{x|x≤0，且x≠﹣}故答案为：{x|x≤0，且x≠﹣}【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题． 14．若函数f（x）=ax（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m= 2或 ．【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，则f（x）的最大值为f（2）=a2=4，解得：a=2，最小值m=f（﹣1）==；②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，则f（x）的最大值为f（﹣1）==4，解得a=，此时最小值m=f（2）=a2=，故答案为：2或．【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减． 15．已知函数f（x）=2a﹣（a∈R）为R上的奇函数，则数a= ．【分析】根据奇函数的性质f（0）=0即可得出a的值．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=2a﹣=0，18/18∴a=．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题． 16．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是 ②③ ．（写出所有真命题的编号）【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；18/18④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力． 三、解答题（共6小题，合计70分）17．（10分）化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）（2）都是根据指数的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）==；（2）∵a＞0，b＞0，∴===ab﹣1=．【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了指数的运算性质，是基础题． 18．（12分）若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁UB）；18/18（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算求A∪B，即可求（∁UB）∩A；（2）根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解答】解 集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）当m=3时，由x﹣m＜0，得x＜3，∴B={x|x＜3}，∴U=A∪B={x|x＜4}，那么∁UB={x|3≤x＜4}．∴A∩（∁UB）={x|3≤x＜4}．（2）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=A，∴A⊆B，故：m≥4．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 19．（12分）设函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）求f（x）在区间[3，5]上的最值．【分析】（1）利用定义证明即可；（2）根据单调性即可得在区间[3，5]上的最值．【解答】解：函数f（x）==1+（1）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），并且x1＜x2，则x1﹣x2＜0f（x1）﹣f（x2）==∵x1＞1，x2＞1（x1﹣1）（x2﹣1）＞0f（x1）﹣f（x2）＞018/18即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）由（1）可知函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；∴f（x）在[3，5]上也是单调减函数，∴．【点评】本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值． 20．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（8）的值；（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．【分析】（1）利用抽象函数的关系式，化简求解即可．（2）化简不等式利用抽象函数，以及函数的单调性求解即可．【解答】解：（1）由题意得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）又∵f（2）=1，∴f（8）=3；（2）不等式化为f（x）＞f（x﹣2）+3∵f（8）=3，∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得2＜x＜．18/18不等式的解集为：{x|2＜x＜}．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 21．（12分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2）的最小值为g（a）．（1）求g（2）的值；（2）求g（a）的解析式．【分析】（1）（2）利用换元法转化为二次函数问题讨论最小值．可得g（2）的值和g（a）的解析式【解答】解：（1）设t=2x，因为﹣1≤x≤2，所以≤t≤4，所以y=t2﹣2at．对称轴t=a．当a=2时，y=t2﹣4t=（t﹣2）2﹣4所以t=2时，y取最小值﹣4．所以g（2）=﹣4；（2）因为y=t2﹣2at，对称轴t=a，≤t≤4，所以当≤a≤4时，即t=a时y取最小值﹣a2．所以g（a）=﹣a2；当a时，t=时，y取最小值，所以g（a）=；当a＞4，t=4时，y取最小值16﹣8a，所以g（a）=16﹣8a；综上所述g（a）=．【点评】本题考查的知识点是函数的转化思想，二次函数的图象和性质最值的讨论．属于中档题．18/18 22．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【分析】（1）根据利润=销售收入﹣总成本，列出解析式；要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5时和x＞5时分别求解即可；（2）分别求出0≤x≤5时和x＞5时f（x）的最大值，取最大的即可．【解答】解：依题意，G（x）=x+2，设利润函数为f（x），则f（x）=R（x）﹣G（x）=（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，解不等式﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0．即x2﹣8x+7＜0．∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）当x＞5时，解不等式8.2﹣x＞0，得x＜8.2．∴5＜x＜8.2．综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．（2）0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，故当x=4时，f（x）有最大值3.6．而当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2所以，当工厂生产400万台产品时，赢利最多．18/18又x=4时，=240（元/台），故此时每台产品售价为240（元/台）．【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地掌握分段函数的求最值问题及解不等式问题． 18/18
