阶段质量检测（三）不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．A<b或a>BD．A>B解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B.2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )A.B.C.D.解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则3．不等式(x－1)≥0的解集是( )A．{x|x>1}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2}D．{x|x≤－2或x＝1}解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．4．不等式组所表示的平面区域是( )解析：选D 不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.5．已知a<b<|a|，则(>B．ab<1C.>1D．a2>b2解析：选D 由a<b<|a|，可知0≤|b|<|a|，由不等式的性质可知|b|2<|a|2，所以a2>b2，故选D.6．若－4<x<1，则f(x)＝(>0.∴f(x)＝－≤－2.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A.B．4C.D．5解析：选C ∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝·＝＋≥＋2＝.故y＝＋的最小值为.8．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为( )A．4B．5C．6D．7解析：选B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.由解得即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.9．已知0<a<1，且ab>1，记M＝loga，N＝logab，P＝logb，则M，N，P的大小关系为( )A．P<n<mb．n<p<m-7-c．n<m<pd．p<m<n解析：选b>1，∴a>>0，b>>0，∴M＝loga>logaa＝1，N＝logab<loga＝－1，又∵p＝logb＝－1，∴n<p<m.10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈n＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)解析：选A 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<g(x)max，又g(x)max＝g(4)＝－2，所以a<－2.12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是(>，故实数a的取值范围是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)-7-13．点(a,1)在直线x－2y＋4＝0的右下方，则a的取值范围是________．解析：由题意，可得a－2＋4>0，即a>－2.答案：(－2，＋∞)14．若a＜b＜0，则与的大小关系为________．解析：∵－＝＝＜0，∴＜.答案：＜15．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，所以(－3)(＋1)≥0，所以≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有即解得m≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解下列不等式(组)：(1)(2)6－2x≤x2－3x<18.解：(1)原不等式组可化为即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．(2)原不等式等价于即因式分解，得所以所以－3<x≤－2或3≤x<6.所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2或3≤x<6}．18．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.-7-求证：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．所以＋＋<＋＋.19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.解：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，即所求不等式的解集为.(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，∴当>a，即0<a<1时，不等式的解集为；当<a，即a>1时，不等式的解集为；当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m-7-宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为Sm2，则ab＝800.所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.21．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，从而有解得(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，又a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为9.22．(12分)某公司计划在2022年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：每台产品所需资金(百元)月投入资金(百元)空调洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110利润68试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得即-7-目标函数为z＝6x＋8y.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，y∈N，所以zmax＝6×4＋8×9＝96.答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9600元．-7-</a<1时，不等式的解集为；当<a，即a></x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．(2)原不等式等价于即因式分解，得所以所以－3<x≤－2或3≤x<6.所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2或3≤x<6}．18．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.-7-求证：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．所以＋＋<＋＋.19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；(2)若a></g(x)max，又g(x)max＝g(4)＝－2，所以a<－2.12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是(></loga＝－1，又∵p＝logb＝－1，∴n<p<m.10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈n＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(></n<mb．n<p<m-7-c．n<m<pd．p<m<n解析：选b></a<1，且ab></x<1，则f(x)＝(></b<|a|，可知0≤|b|<|a|，由不等式的性质可知|b|2<|a|2，所以a2></b<|a|，则(></b或a>
