第24章达标检测卷一、选择题(每题4分，共40分)1．下列四个图案中，是中心对称图形的是( )2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．无法确定3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )A．AE＝BEB.＝C．OE＝DED．∠DBC＝90°4．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的度数是( )A．45°B．60°C．90°D．135°5．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的大小为( )A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．AC＝BCD．∠BAC＝30°7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C13
逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B经过的路径长为( )A.B.C.D．π8．现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好能围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为( )A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm9．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB相切的动圆O与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( )A.B.C．5D．无法确定10．下列说法正确的是( )A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论：____________________________．(至少填写两个)12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转∠α得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是________．13
13．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．14．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三、解答题(15题8分，19，20题每题12分，21，22题每题14分，其余每题10分，共90分)15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到线段AB′的过程中扫过区域的面积．16．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，AB＝8，求⊙O的直径．13
17．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE＝2，求⊙D的半径．13
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CD＝1，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)20．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．13
21．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD，BD，CD交OE于点F.(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF＝∠BDE；(3)连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．22．如图，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0)．(1)求线段AD所在直线的表达式；(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以r13
＝1为半径的圆与对角线AC相切？13
答案一、1．A 2．A3．C 点拨：由垂径定理可得选项A，B是正确的；由直径所对的圆周角是直角可得选项D是正确的．4．C 5．C 6．D 7．B8．C 点拨：设该圆锥底面圆的半径为rcm，则＝2πr，解得r＝2.9．B 点拨：设AB与⊙O相切于点D，连接OC，OD，CD，则OD⊥AB，易知∠ACB＝90°，所以PQ为⊙O的直径，PQ＝OC＋OD≥CD，当CD过点O时，PQ＝CD，此时PQ有最小值，且CD⊥AB，所以CD＝＝.所以线段PQ长度的最小值是.10．A二、11．OE＝OF，∠AOB＝∠COD点拨：本题答案不唯一．12．－ 13．3或414．②③④ 点拨：如图，连接OC.由AB为⊙O的直径知∠ACB＝90°.因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°，易得∠PCB＝∠A.若∠A＝30°，则∠CBA＝60°，易得∠CPB＝30°，所以∠CPB＝∠A，所以PC＝AC＝BC，故②正确．若∠CPA＝30°，则∠COP＝60°，又因为OC＝OB，所以△BOC为等边三角形，所以BC＝OB，∠CBO＝60°，所以∠PCB＝30°，所以PB＝BC，所以PB＝OB，故③正确．因为PD为∠APC的平分线，所以∠DPA＝∠APC.所以∠CDP＝∠DPA＋∠A＝(∠APC＋∠BOC)＝45°，即∠CDP＝45°为定值，故④正确．在△CPD和△DPA中，∠CPD＝∠DPA，而∠CDP＞∠A，∠PCD＞∠A，所以△CPD与△DPA不相似，故①错误．三、15．解：(1)如图．(2)如图，线段AB在变换到线段AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，其中∠B′AB＝90°，AB′＝AB＝＝5.所以线段AB在变换到线段AB′的过程中扫过区域的面积是×π×52＝π.13
16．解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，∴＝.∴∠AOD＝∠BOD.又∵∠AOD＝52°，∴∠DEB＝∠BOD＝∠AOD＝26°.(2)∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，∴在Rt△AOC中，AO＝＝＝5，∴⊙O的直径是10.17．(1)证明：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)解：由(1)知AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠B＝60°.∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°.13
在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4.又∵DE⊥AC，∴DE＝DC·sinC＝4·sin60°＝4×＝2.18．(1)证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，∠ABC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°－60°－30°＝90°，∴DA⊥AC，又AD是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线．(2)解：如图，连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED－∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2.19．(1)证明：如图，连接OD.∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.∵∠C＝90°，∴OD∥AC.∴∠ODA＝∠CAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠BAD＝∠CAD.13
∴AD平分∠BAC.(2)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∴∠BOD＝45°.∴OD＝BD.设BD＝x，则OD＝OA＝x，OB＝x.∴BC＝AC＝x＋1.∵AC2＋BC2＝AB2，∴2(x＋1)2＝(x＋x)2.∴x＝(负值舍去)．∴BD＝OD＝.∴图中阴影部分的面积＝S△BOD－S扇形DOE＝××－＝1－.20．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20m．由垂径定理知，F是AB的中点，∴AF＝FB＝AB＝40m.13
设半径是rm，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置．连接EM，设EC与MN的交点为D，则DE⊥MN，∴DM＝30m，∴DE＝＝＝40(m)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．∵10m>9m，∴这艘轮船能顺利通过．21．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°.∴∠DEO＝∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，∴△DOE∽△ABC.(2)证明：∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A.∵∠A与∠BDC都是所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC，∴∠ODF＝∠BDE.(3)解：∵△DOE∽△ABC，∴＝＝，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，∵OA＝OB，∴S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵＝，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，13
∴S△DBE＝S1，∴BE＝OE，即OE＝OB＝OD，∴sinA＝sin∠ODE＝＝.22．解：(1)∵∠BAD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝30°.又∵点A的坐标为(－2，0)，∴AO＝2，∴AD＝4，∴OD＝＝2，∴点D的坐标为(0，2)．设线段AD所在直线的表达式为y＝kx＋b，则解得∴线段AD所在直线的表达式为y＝x＋2.(2)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴DC＝CB＝BA＝AD＝4，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，如图．①当点P在P1的位置且⊙P1与AC相切时，易得AP1＝2r＝2，∴t1＝2.②当点P在P2的位置且⊙P2与AC相切时，易得CP2＝2r＝2，∴AD＋DP2＝6，∴t2＝6.③当点P在P3的位置且⊙P3与AC相切时，易得CP3＝2r＝2，∴AD＋DC＋CP3＝10，∴t3＝10.④当点P在P4的位置且⊙P4与AC相切时，易得AP4＝2r＝2，∴AD＋DC＋CB＋BP4＝14，∴t4＝14，∴当t＝2，6，10或14时，以点P为圆心、以r＝1为半径的圆与对角线AC相切．13
