第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入测试题班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,,故.所以应选C.2.【2022浙江杭州4月二模】设（为虚数单位），则（）A.B.C.D.2【答案】B3.已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，向量在向量方向上的投影为，选A.-11-\n4.在中，点在边上，且，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设，又，所以，故选D.5.【2022浙江温州2月模拟】设复数z1=-1+2i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1⋅z2=（）A.-1B.3iC.-3+4iD.-4+3i【答案】D【解析】因复数z1=-1+2i，z2=2+i，故z1z2=-2-i+4i-2=-4+3i，应选答案D.6.【2022广西陆川】若是所在平面内一点，且满足，则一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B7.是两个向量，,且,则与的夹角为（ ）A．30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】由知，==0，所以=-1，所以==，所以与的夹角为，故选C.8.【2022黑龙江大庆三模】在平行四边形中，-11-\n，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知，点D为线段AD上靠近点D的三等分点，点F为线段BC上靠近点B的三等分点，取AE的中点G，则，结合余弦定理可得：.本题选择B选项.9.已知点，，则与同方向的单位向量是（）A．B．C．D．【答案】A.10.已知向量的夹角为，且，则（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】由，解得，故选A．11.已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为（）A．-2B．2C．D．1【答案】B【解析】-11-\n因,故,即，也即,所以,应选B.12.【2022黑龙江哈师大附中三模】已知，，点满足，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C整理可得：的值为.本题选择C选项.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.【2022浙江卷】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则，ab=．【答案】5，2【解析】由题意可得，则，解得，则14.【2022福建三明5月质检】已知向量满足，，且，则实数__________．【答案】【解析】很明显，则：，据此有：，解得：.15．【2022浙江嘉兴测试】已知两单位向量的夹角为，若实数满足-11-\n，则的取值范围是．【答案】【解析】，令，由．故的取值范围为．16.【2022四川雅安三诊】直线与圆：相交于两点、.若，为圆上任意一点，则的取值范围是__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，求AB的长．【答案】-11-\n【解析】解法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1.①因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，因此①式可化为1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或||＝，所以AB的长为.所以＝，＝.-11-\n由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或m＝.故AB的长为.18.已知平面内三个向量:（Ⅰ）若,求实数的值；（Ⅱ）设,且满足,，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】又，所以（Ⅱ）因为，所以.故或.19.【2022江西抚州七校联考】已知，向量，向量，集合．（1）判断“”是“”的什么条件；（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为2，则-11-\n．判断，，的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件；（2）为真命题为假命题为真命题.【解析】（2）若，则舍去),为真命题.由得，或，若集合的子集个数为，则集合中只有个元素，则或，故为假命题为真命题为假命题为真命题.20.【2022广西梧州联考】已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且．（1）求证：点共线；（2）若，当时，求动点的轨迹方程．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用，可得，根据 ，，即可证明；（2）由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，，即可求点的轨迹方程．-11-\n试题解析：（1）设，则，因为，所以，又，所以因为，，且，所以，又都过点，所以三点共线．21．已知向量，，且.(1)求及；(2)若的最小值为，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1),,.,,,当时，当且仅当时，取最小值，解得；-11-\n当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍）；当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍去），综上所述，.22．如图：两点分别在射线上移动，且,为坐标原点，动点满足（1）求点的轨迹的方程;（2）设，过作（1）中曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若,求的值。【答案】（1）；（2）①见解析；②.-11-\n设，则，∴，即，又即∴13分-11-
