2.3函数的奇偶性与周期性第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.备考指导函数的奇偶性常与函数的单调性、周期性综合考查,命制函数综合性选择、填空题.复习时,除了理解并掌握函数的奇偶性、周期性的含义与应用外,还要注重与其他性质的综合,提升数学抽象和逻辑推理的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.函数的奇偶性\n2.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.\n3.函数的周期性(1)周期函数:若T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T≠0;②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).\n问题思考已知函数f(x)满足下列条件,你能得到什么结论?(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0);(2);(3)f(x+a)=f(x+b)(a≠b).可以得到函数的周期:(1)T=2|a|;(2)T=2|a|;(3)T=|a-b|.\n1.函数周期性的常用结论(1)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(2)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(3)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(4)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(5)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.\n2.奇函数、偶函数图象的对称性的推广\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(4)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()××√√\n2.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间[a-1,2a]上的偶函数,则a+b的值是()3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))BB因为(a,f(a))是函数y=f(x)图象上的点,且y=f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以点(-a,f(-a)),即点(-a,-f(a))一定在y=f(x)的图象上.\nB\n5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为.(-2,0)∪(2,5]由题中图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,所以当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1函数奇偶性的判断解(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.(2)由可得函数的定义域为(-1,1].因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.\n(3)(方法一:定义法)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数.(方法二:图象法)作出函数f(x)的图象,如图所示.由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.\n解题心得判断函数奇偶性的方法:(1)定义法.利用奇函数、偶函数的定义或定义的等价形式:(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法.利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:\n对点训练1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数C由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.\n能力形成点2函数奇偶性的应用例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()D\n1\n2对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min,故f(x)max+f(x)min=M+m=2.\n(4)已知函数g(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)<g(m),求m的取值范围.解∵g(1-m)<g(m),且g(x)为偶函数,∴g(|1-m|)<g(|m|).又g(x)在区间[0,2]上单调递减,∴|1-m|>|m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得\n解题心得函数奇偶性应用的类型及解法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.\n对点训练2(1)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2B设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.\nD\n(3)若f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|-2<x<0,或x>2}B.{x|0<x<2,或x>4}C.{x|x<0,或2<x<4}D.{x|x<-2,或x>2}B当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-2<x-2<0或x-2>2,即0<x<2或x>4时,有f(x-2)>0.故选B.\n(4)设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数是奇函数,则a+b的取值范围为.\n能力形成点3函数周期性的应用例3定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)等于()A.336B.338C.1678D.2012B∵f(x+6)=f(x),∴函数f(x)的周期T=6.∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1.∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)+f(2022)=又f(2023)=f(1)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=338.\n解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.\n对点训练3已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2023)=.2因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2023)=f(1)=2.\n能力形成点4函数性质的综合应用例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在区间[-1,0]上单调递减,则f(x)在区间[1,3]上()A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增D由f(x)在区间[-1,0]上单调递减,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在区间[0,1]上单调递增.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故f(x+2)=f(x),周期为2.结合以上性质,作出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在区间[1,2]上单调递减,在区间[2,3]上单调递增.故选D.\n(2)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于()A.-50B.0C.2D.50C∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.\n解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的区间内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.\n对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2022)的值为()A.2B.0C.-2D.±2A∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1).∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(2022)=f(2)=2.\nD\n即f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),即f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函数f(x)是周期为3的周期函数,故函数f(x)在区间[0,6]上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个.故选D.\n第三环节 学科素养提升\n用赋值法证明抽象函数的奇偶性判定抽象函数f(x)的奇偶性时,因为f(x)无具体的解析式,所以先要充分利用给定的条件,对变量进行赋值,使其变为含有f(x),f(-x)的式子,再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.至于如何赋值,要根据解题目标来确定,一般可通过赋值-1,0或1来达到解题目的.\n典例定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在区间[a,b]上()A.有最小值f(a)B.有最大值C.有最小值f(b)D.有最大值f(b)答案:C解析:令y=-x,则由f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得f(0)=f(x)+f(-x),①再令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0,代入①式得f(-x)=-f(x),故f(x)是一个奇函数,其图象关于原点对称.任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,得f(x1-x2)>0,即f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2).故f(x)在R上是一个减函数,可得f(x)在区间[a,b]上有最小值f(b).\n变式训练定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R,恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0.(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并加以证明;(3)当x≥0时,f(x)单调递增,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值范围.解(1)令x=y=1,得f(1)=0;令x=y=-1,得f(-1)=0.(2)令y=-1,对x∈R得f(-x)=f(-1)+f(x),即f(-x)=f(x),而f(x)不恒为0,故f(x)是偶函数.(3)由(2)知f(x)是偶函数,则f(x)=f(|x|),当x≥0时,f(x)单调递增,由f(x+1)≤f(2-x),得f(|x+1|)≤f(|2-x|),即|x+1|≤|2-x|,故x的取值范围是
