考点60空间中的对称问题要点阐述1.关于点对称:点关于原点的对称点.2.关于轴对称点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为;点关于轴的对称点的坐标为;3.关于面对称点关于坐标平面的对称点为;点关于坐标平面的对称点为;点关于坐标平面的对称点为.典型例题【例】已知A(3,2,–4),B(5,–2,2),则线段AB中点的坐标为________.【答案】(4,0,–1)【易错易混】确定点的坐标时,一定要注意坐标中各分量的符号,这是求空间的坐标的易错点.小试牛刀1.空间两点A,B的坐标分别为(x,–y,z),(–x,–y,–z),则A,B两点的位置关系是( )4A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称【答案】B【解析】由A,B两点的坐标可知关于y轴对称.【解题技巧】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象.2.在空间直角坐标系中,点P(-1,2,-3)关于原点O的对称点P′的坐标是( )A.(-1,-2,3)B.(1,2,3)C.(1,-2,-3)D.(1,-2,3)【答案】D【解析】线段PP′的中点是原点.【规律总结】(1)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:(2)点的对称可简单记为“关于谁对称,谁不变,其他的变为相反数;关于原点对称,都变”.要特别注意:点关于点的对称要用中点坐标公式解决.3.点P(1,1,1)关于平面的对称点是( )A.(1,–1,1)B.(–1,–1,1)C.(1,1,–1)D.(–1,–1,–1)4.在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为( )A.(4,0,6)B.(–4,7,–6)4C.(–4,0,–6)D.(–4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴的对称点是M′(-4,7,-6),点M′在坐标平面xOz上的射影是(-4,0,-6).5.若点P(–4,–2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( )A.7B.–7C.–1D.1【答案】D6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为点M1,求点M1关于原点对称的点的坐标.【解析】由题意,知点M1的坐标为(-2,0,-3),点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3).考题速递1.点A(2,3–μ,–1+v)关于x轴的对称点A′(λ,7,–6),则( )A.λ=–2,μ=–1,v=–5B.λ=2,μ=–4,v=–5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=7【答案】D【解析】由已知对称性知即故选D.2.在空间直角坐标系中,点M(–1,4,–3)在xOz平面上的射影为M1点坐标是________.【答案】(-1,0,-3)【解析】由题意知M1的坐标为(-1,0,-3),3.点关于轴的对称点为,点关于平面的对称点为,则的坐标为________.【答案】【解析】因点和关于轴对称,所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,又因点和关于平面对称,所以点坐标为44.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M在线段BC1上,且|BM|=2|MC1|,N是线段D1M的中点,求点M,N的坐标.数学文化荷花荷花的对称性可以体现出对称的图象特点4