考点49轨迹方程要点阐述在高考数学试题中，求动点轨迹是一个难点，也是一个重点．求动点轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、参数法，相关点法等．典型例题【例】已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于–1．则动点P的轨迹C的方程为_______________．【答案】x2+y2＝1(x≠±1)．【规律方法】求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．（2）列出点M满足条件的集合．（3）用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0．（4）将上述方程化简．（5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．小试牛刀1．方程y＝表示的曲线是( )A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆【答案】D【解析】方程y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，5所以方程y＝表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．【易错易混】要注意到y>0,应是个半圆．2．方程x2+y2+2ax–b2=0表示的图形是（）A．一个圆B．只有当a=0时，才能表示一个圆C．一个点D．a，b不同时为0时，才能表示一个圆【答案】D【解析】当a=b=0时，原方程变为x2+y2=0，表示一个点．当a2+b20时，方程x2+y2+2ax–b2=0表示一个圆．3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是（－2，0）和（2，0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（ ）A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9（y≠0）D．x2＋y2＝9（x≠0）【答案】C【解析】中点D（0，0），由于|AD|为定长3，所以A点在以D为圆心，3为半径的圆上，选C．【规律总结】求轨迹方程时经常遇到“去”或“补”的问题，当所求方程包括不合题意的点时，必须去掉；当所求方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来（如本例）．以上例题所用方法均是由题意所给出的等量关系直接列出方程所得，故称“直接法”．4．已知两定点A（–2，0），B（1，0），若动P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【答案】B5．已知动点M到点（8，0）的距离等于点M到点（2，0）的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（ ）A．x2+y2=32B．x2+y2=16C．（x–1）2+y2=16D．x2+（y–1）2=16【答案】B【解析】设M（x，y），则M满足整理得x2+y2=16．56．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．（1）求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．考题速递1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )A．一个圆B．两个圆C．一个半圆D．两个半圆【答案】D【解析】方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1．若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．方程表示两个半圆．2．动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是．【答案】(2x–3)2+4y2=1【解析】设中点M(x,y),则动点A(2x–3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x–3)2+(2y)2=1,即所求轨迹方程为(2x–3)2+4y2=1．3．设方程，若该方程表示一个圆，m的取值范围，这时圆心的轨迹方程．【答案】，5【解析】配方得：4．设定点M（–3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作MONP，求点P的轨迹方程．【解析】如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．因为平行四边形的对角线互相平分，故，则有即N（x+3，y–4）．又点N在圆x2+y2=4上，故（x+3）2+（y–4）2=4．因此点P的轨迹为圆（除去两点），其轨迹方程为（x+3）2+（y–4）2=4（除去，两点）．5数学文化天津之眼天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，坐落在天津海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．是世界上唯一建在桥上的摩天轮，是天津的地标之一．摩天轮直径为110米，轮外装挂64个360度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供512个人观光．摩天轮旋转一周所需时间为30分钟，到达最高处时，周边景色一览无余，甚至能看到方圆40公里以内的景致，被誉为“天津之眼”．图为天津之眼夜景．5
