考点55两圆的切线问题要点阐述1．判断两圆是否相切，利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差（或）是否相等作出判断．2．两圆的不同位置关系对应不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，分别对应的公切线有0条、1条、2条、3条、4条，反之亦成立．典型例题【例】半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【答案】D【易错易混】解方程应该是两个根，无丢解．小试牛刀1．圆与圆的公切线的条数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D6【解析】本题主要考查两圆的位置关系，两圆的圆心距，半径分别为,则，即两圆外离，因此它们有4条公切线．【规律总结】两圆公切线的条数：（1）两圆相离，有四条公切线；（2）两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；（3）两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；（4）两圆内切，有一条公切线；（5）两圆内含，没有公切线．2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3㎝和4㎝，若O1O2=7㎝，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_____________若O1O2=_____________两圆相内切_____________【答案】C【解析】因为O1O2=7㎝=3cm+4cm,圆心距等于半径和时，两圆外切；当O1O2=4cm–3cm=1cm，两圆相内切．3．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为__________．【答案】6或14．【解析】由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14．4．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，则两圆公切线的条数为__________．【答案】25．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程__________．两圆面积之比___________．【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18，25:9．【解析】将圆C化为标准方程，得6(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为C(－5，－5)，半径为，所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由题意知，点O(0,0)、A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18．两圆的半径分别为，，半径之比为5:3，面积之比为25:9．6．判断圆与圆的公切线条数．【思路归纳】两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系决定的，所以解决此类题目的关键是判断两圆的位置关系．6考题速递1．已知圆A，圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为( )A．6cm或14cmB．10cmC．14cmD．无解【答案】A【解析】圆A与圆B相切包括内切与外切，∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14．2．与两圆和都相切的直线有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】两圆的圆心距为5，两圆半径和为5，故两圆外切，因此，两圆有两条外公切线和一条内公切线，共3条．3．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．若圆O2与圆O1外切，圆O2的方程，并求内公切线方程．【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝12－8，x＋y＋1－2＝0．4．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【解析】（1）设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．6根据题意，得，解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．（2）因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，数学文化钻圈6杂技钻圈中所用到的圈与圈之间是圆的外切关系6
