第八讲《三角形与四边形》复习一、学习指引1.知识要点：三角形的性质，全等三角形的定义、判定和性质，结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形），梯形等性质的应用，中位线的应用.2.方法指导：(1)处理有关三角形和四边形的问题，常转化成基本图形来考虑.(2)解题过程中常需添加辅助线.（3）折叠问题中应重视轴对称知识的应用.二、典型例题例1．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（）A．B.C．D.BAC(例3图)例3.如图，已知每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于.A(例4图)例4．（07湖州）如图，点A是5×12\n5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是（）A.10个B.12个C.14个D.16个例5．（09烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．（例5图）例6．（09深圳市）如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．例7．（09兰州市）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．例8．（09丽水市）．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）A．B．12\nC．D．7例9．（09黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等.（2）求h的值.例10．（09台州市）．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．12\n图1（1）如图2，与的角平分线相交于点．求证：点是四边形的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若是任意凸四边形的准内点，则或．()例11．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90º，BC＝CD，E是AD延长线上一点，若DE＝AB＝3cm，CE＝4cm，求AD的长？12\n例12.（09河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）12\n60°PQ2cm（第6题）6．(09吉林)将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（）A．cmB．cmC．cmD．2cm12\nP(第7题)【能力拓展】12.（09重庆市）．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：（第12题）①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤12\nC．①③④D．③④⑤ADEBCF（第13题）13.（09江苏省）如图，已知是梯形的中位线，的面积为，则梯形的面积为cm2．14.如图,在平行四边形ABCD中,A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4分别是AB和DC的五等分点,C1,C2和D1,D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形C1A4D2B1的面积为1,则SABCD=.15．（09年宜宾市）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________16.如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么∶＝。17.如图，所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是（）A．16B．32C．48D．64(第18题)18．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．12\n19．(09吉林)两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线上（如图①），=2cm，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点、重合时，连接（如图②），求点到的距离；（2）当时（如图③），求证：四边形为正方形．AOCD358xy(第20题)20．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，OC=5，若点P在梯形内，且，，求点P的坐标？12\n答案第八讲三角形与四边形（典型例题）例1.D.例2.B例3..例4.D.例5．17.例6.120°.例7.证明：如图，连结AC．BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQAC．同理MNAC．∴MNPQ，∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝AC＝BD＝PN∴□PQMN为菱形．例8.A.例9.解：连结EF∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形∴BE∥FD，BF∥ED∴四边形EBFD为平行四边形∴BE=FD又∵l1．l2．l3和l4之间的距离为h∴S△ABE=BE·h，S△FBE=BE·h，S△EDF=FD·h，S△CDF=FD·h∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF（2）过A点作AH⊥BE于H点。∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF又∵正方形ABCD的面积是25∴，且AB=AD=5又∵l1∥l2∥l3∥l4∴E．F分别是AD与BC的中点∴AE=AD=∴在Rt△ABE中，BE=又∵AB·AE=BE·AH∴例10.（1）如图2，过点作，∵平分，∴． 同理．∴是四边形的准内点．12\n图3（1）图4图3（2） （2） 平行四边形对角线的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.（3）真；真；假．（3）是．第八讲三角形与四边形（同步练习）【基础巩固】1.60.2..3..4.C.5.B.6.B.7..8..9.1．.10.796.11.略.【能力拓展】12.B.13.16.14.15.4.5.16.1：817.C.18.8.19．解：（1）cm，是等边三角形．12\n12
