第一章函数第三节 反比例函数命题点1 反比例函数与几何图形综合题（高频）1.（2022重庆A卷12题4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1.反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为()A.2B.4C.2D.4第1题图2.（2022重庆B卷12题4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°,顶点C的坐标为（m,3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是()A.6B.-6C.12D.-12第2题图3.(2022重庆B卷12题4分)如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=(k≠0,x＞0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2,则点C的坐标为（0，+1）.其中正确结论的个数是()10\nA.1B.2C.3D.4第3题图第4题图4.(2022重庆A卷18题4分)如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA＝2，∠AOC=60°.点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的点B′和点C′处，且∠C′DB′=60°.若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为.【拓展猜押1】如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C在反比例函数y=（x>0）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，且平行四边形OABC的面积为9，则k的值为.拓展猜押1题图【变式改编1】(2022重庆A卷18题)如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，∠AOC=60°，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的点B′和点C′处，且∠C′DB′=60°.若反比例函数y=-的图象经过点B′，则菱形OABC的边长为.变式改编1题图拓展猜押2题图【拓展猜押2】如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是()A. （1，）B. （,1）C. （2，2）D. （2,2）10\n命题点2反比例函数与一次函数及几何图形综合题（高频）1.（2022重庆A卷12题4分）如图，反比例函数y=-在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1、-3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为()A.8B.10C.12D.24第1题图第2题图2.（2022重庆B卷12题4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m,2)和CD边上的点E(n,).过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0,-2).则点F的坐标是()A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(,0)3.(2022重庆22题10分)已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n,-2）,tan∠BOC=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上有一点E(O点除外)，使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标.第3题图10\n【变式改编2】(2022年重庆A卷12题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边AB垂直于x轴，BC=4，点A的纵坐标为9，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A、C,则Rt△ABC的面积为()A.10B.12C.14D.16变式改编2题图拓展猜押3题图【拓展猜押3】已知，如图，动点P在函数y=(x>0)的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y=-x+1相交于点E,F，则AF·BE的值是()A.4B.2C.1D.命题点3反比例函数的实际应用（冷考点）【答案】 命题点1反比例函数与几何图形综合题1.D【解析】∵当y=3时，即3=，解得x=1，∴A(1，3).∵当y=1时，即1=，解得x=3，∴B(3，1).如解图，过点A作AE∥y轴交CB的延长线于E点，则AE=3-1=2，BE=3-1=2，∴AB==2，∴在菱形ABCD中，BC=AB=2，∴S菱形ABCD＝BC×AE=2×2=4.10\n第1题解图2.D【解析】连接BC，作CE⊥x轴于E点,如解图.∵在菱形ABOC中，OC=OB，∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形.∵CE⊥BO，∴∠OCE=30°，BE=EO.∵C(m，3)，∴CE=3，∴sin60°=，∴OC===6，∴OB=6.∵在菱形ABOC中，∠AOB=∠BOC=30°，∴tan30°=，∴BD=BO·tan30°=6×=2，∴D(-6，2)，∴k=(-6)·2=-12.第2题解图3.C【解析】本题是反比例函数和几何图形结合的结论判断题，逐一分析：序号逐项分析正误①S△CON=S△MOA=k,∴OC·CN=OA·AM,又∵OC=OA,∴CN=AM.又∵∠OCB=∠OAB=90°，∴△OCN≌△OAM√②由①知△OCN≌△OAM，∴ON=OM,若ON=MN，则△ONM是等边三角形，∠NOM=60°，题目中没有可以得到此结论的条件×③根据①的结论，设正方形边长为a,CN=AM=b.S四边形DAMN=(a+b)(a-b)=a2-b2,S△MON=a2-ab-ab-（a-b）2=a2-b2,∴S四边形DAMN=S△MON√④如解图，延长BA到E，使AE=CN,连接OE，则△OCN≌△OAE.∴∠EOA=∠CON,ON=OE，∴∠MOE=∠MOA+∠CON=90°-∠MON=45°，∴∠MOE=∠MON，又∵OM=OM，∴△NOM≌△EOM，∴ME=MN=2,即CN+AM=2，∴CN=AM=1，Rt△NMB中，√10\nBN=BM==,∴AB=+1,∴C(0,+1)第3题解图第4题解图4.y=-【解析】∵四边形OABC是菱形，∴∠ABC=∠AOC=60°.由折叠的性质知∠CDB=∠C′DB′=60°，∴△CDB为等边三角形，如解图，∴DB=BC=2，∴点D与点A重合.∴点B′与点B关于OA即x轴对称.易求得点B的坐标为(3,)，故点B′的坐标为(3,-)，所以过点B′的反比例函数的解析式为y=-.命题点2反比例函数与一次函数及几何图形综合题1.C【解析】本题考查反比例函数性质、待定系数法求直线解析式及三角形面积的计算.∵点A、B都在反比例函数y=-图象上，且点A、B的横坐标分别是-1、-3，代入到函数解析式中，可得A、B两点的纵坐标分别为6、2，∴A（-1，6），B（-3，2），设直线AB的解析式为：y=kx＋b（k≠0），代入A、B两点，得：，解得：，则直线AB的解析式为：y=2x＋8，令y=0，解得：x=-4，则点C的坐标为（-4，0），∴OC=4，S△AOC=OC·|yA|=×4×6=12.2.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（m，2），∴正方形ABCD的边长为2，即BC=2.∵点E的坐标为（n，），点E在边CD上，∴点E的坐标为（m+2，）.把A（m，2）和E（m+2，）代入y=，得，解得，∴点E的坐标为（3，）.∵点G的坐标为（0，-2），设直线GE的解析式为：y=ax+b（a≠0），可得，10\n，解得，∴直线GE的解析式为：y=x-2.∵点F在直线GE上，且点F在x轴上，可设点F的坐标为（c，0），代入GE的解析式，令y=0,求得c=，∴点F的坐标为（，0）.3.解：（1）如解图,过点B作BD⊥x轴于点D.∵点B的坐标为（n,-2）,∴BD=2.在Rt△BDO中，tan∠BOC＝，∵tan∠BOC＝＝，∴OD＝5.（1分）又∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（-5，-2）.（2分）将B（-5，-2）代入y=,得-2＝,∴k=10,（3分）∴该反比例函数的解析式为y=.（4分）将点A（2,m）代入y=,得m==5,∴A(2,5).（5分）将A（2,5）和B（-5，-2）分别代入y=ax+b，得，解得，（6分）∴该一次函数的解析式为y=x+3.（7分）（2）在y=x+3中，令y=0，即x+3=0,∴x=-3,∴点C的坐标为（-3，0），∴OC＝3.（8分）又∵在x轴上有一点E（O除外），使S△BCE＝S△BCO，∴CE＝OC＝3，（9分）∴OE＝6，∴E（-6，0).（10分）10\n第3题解图【变式改编1】2【解析】如解图，∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°，∴△AOC和△ABC都是等边三角形，由轴对称的性质可知∠CDB=∠C′DB′=60°，CD=C′D，DB＝BC，∴点D与点A重合.过点B′作B′E⊥x轴于点E，则∠B′ED=90°，在Rt△DB′E中，∠EDB′＝60°，设AB′＝x,∴OE=x+=，EB′=,∵点B′在第四象限，∴点B′(,-).∵点B′在反比例函数y=-的图象上，则·(-)=-3，解得x=2.则菱形OABC的边长是2.变式改编1题解图【变式改编2】B【解析】∵点A的纵坐标为9，点A在反比例函数y=的图象上，∴点A的坐标是（2，9），∵AB垂直于x轴，且BC=4，∴点C的横坐标为2+4=6，∵点C在反比例函数y=的图象上，∴点C的纵坐标为3，∴C（6，3），∴AB=9-3=6，∴SRt△ABC=×4×6=12.【拓展猜押1】6【解析】如解图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作AF∥x轴，过点B作BF⊥AF交于点F，连接AC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB,OC∥AB,∴∠COD=∠BAF,在△COD和△BAF中，∵,∴△COD≌△BAF(AAS),∴OD=AF,∵点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，∴AF=2，∴OD=2，即点C10\n的横坐标为2，∵顶点A,C在反比例函数y=（x>0）的图象上，∴点A(4,),点C(2,),S△OCD=S△OAE,∵平行四边形OABC的面积为9，∴S△OAC=,又∵DE=OE-OD=4-2=2,∴S△OAC=S△OCD+S四边形AEDC-S△OAE=S四边形AEDC=(AE+CD)·DE=×(+)×2=,解得：k=6.拓展猜押1题解图【拓展猜押2】C【解析】如解图，过点C作CD⊥OA于点D,∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2OD=2x，∴CD==x，∴点C的坐标为（x,x），∵双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边上的点C，∴x=，解得:x=±1（负值舍去），∴点C(1，3).即点B（2，2）.拓展猜押2题解图【拓展猜押3】C【解析】如解图，作FG⊥x轴，设P点的坐标为（a,），∵PN⊥OB,PM⊥OA,∴N点的坐标为（0,），M点的坐标为（a,0），∴BN=1-,在Rt△BNF中，∠NBF=45°，（OB=OA=1，△OAB是等腰直角三角形），∴NF=BN=1-，∴F点的坐标为（1-，10\n），同理可得出E点的坐标为（a,1-a）,∴AF2=(1-1+)2+()2＝,BE2=(a)2+(a)2=2a2,∴AF2·BE2=·2a2=1，即AF·BE=1.拓展猜押3题解图10
