课时训练31正方形限时：30分钟夯实基础1．不能判定四边形是正方形的是( )A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的矩形C．对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形2．如图K31－1，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交FG于点P，则DP等于( )图K31－1A．22B．42C．2D．13．[2022·仙桃]如图K31－2，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )图K31－2A．1B．1．5C．2D．2．54．[2022·德阳]如图K31－3，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为( )11\n图K31－3A．3B．3C．3－3D．3－325．[2022·福清模拟]在矩形ABCD中，再增加条件 (只需填一个)可使矩形ABCD成为正方形． 6．[2022·深圳]如图K31－4，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 ． 图K31－47．[2022·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是 ． 8．如图K31－5，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CE＝1cm，则BF＝ cm． 图K31－59．[2022·青岛]如图K31－6，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 11\n图K31－610．[2022·陕西]如图K31－7，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使△DPA∽△ABM．(不写作法，保留作图痕迹)图K31－7能力提升11．[2022·天津]如图K31－8，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ． 图K31－812．[2022·北京]如图K31－9，在正方形ABCD中，E是边AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．(1)求证：GF＝GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．11\n图K31－9拓展练习13．[2022·台州]如图K31－10，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为 ． 图K31－1011\n14．[2022·龙岩质检]如图K31－11，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．(1)如图①，AF＝BF，AE＝23，点T是射线PF上的一个动点，则当△ABT为直角三角形时，求AT的长．(2)如图②，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．图K31－1111\n参考答案1．A 2．B3．C [解析]连接AE．∵△ABG沿AG对折至△AFG，∴AB＝AF，GB＝GF＝3．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝AF．∵AE是公共边，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)．∴DE＝EF．设DE＝x，则EF＝DE＝x，GE＝x＋3，CE＝6－x．在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＋CE2＝GE2．∴32＋(6－x)2＝(x＋3)2．解得x＝2．故选C．4．C [解析]由旋转可知∠1＝∠4＝30°，∴∠2＋∠3＝60°．∵∠BAM＝∠BC'M＝90°，AB＝BC'，BM＝BM，∴Rt△ABM≌Rt△C'BM，∴∠2＝∠3＝30°．在Rt△ABM中，AB＝3，∠2＝30°，则AM＝tan30°×AB＝1．∴S△ABM＝S△BMC'＝32，∴S阴影＝S正方形－(S△ABM＋S△BMC')＝3-3．5．AB＝BC(答案不唯一)6．8 [解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∵∠CEA是直角，∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAF，则在△ACE和△FAB中，∵∠AEC＝∠ABF＝90°，∠ACE＝∠BAF，AC＝AF，∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴AB＝CE＝4，∴阴影部分的面积S△ABC＝12AB·CE＝12×4×4＝8．7．30°或150° [解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝DA，∠DEA＝∠1＝60°．∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠2＝90°．∴∠CDE＝150°，DE＝DC，∴∠3＝12(180°－150°)＝15°．同理可求得∠4＝15°．∴∠BEC＝30°．11\n如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝DA，∠1＝∠2＝60°．∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠CDA＝90°．∴DE＝DC，∠3＝30°，∴∠4＝12(180°－30°)＝75°．同理可求得∠5＝75°．∴∠BEC＝360°―∠2―∠4―∠5＝150°．故答案为30°或150°．8．(2＋2)9．342 [解析]∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°．又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF＝∠ABE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∠BGF＝∠BGA＝90°．在Rt△BCF中，CF＝3，BC＝5，∴BF＝52＋32＝34．在Rt△BGF中，点H为BF的中点，∴GH＝12BF＝342．10．解：如图所示，AM与DG的交点即为满足条件的点P．作法如下(题目不要求写作法，以下步骤可省略)：①以点D为圆心，以任意长为半径画弧交AM于E，F两点，②分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点G，③作直线DG交AM于点P，则点P即为所求点．11．5 [解析]如图所示，延长GE交AB于点N，过点P作PM⊥GN于M．由正方形的性质可知AN＝AB－BN＝AB－EF＝2，NE＝GN－GE＝BC－FC＝2．根据点P是AE的中点及PM∥AN，可得PM为△ANE的中位线，所以ME＝12NE＝1，PM＝12AN＝1，因此MG＝2．根据勾股定理可得PG＝PM2＋MG2＝5．11\n12．解：(1)证明：连接DF，如图：∵点A关于直线DE的对称点为F，∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°．∴∠DFG＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝DF，∠C＝∠DFG＝90°．又∵DG＝DG，∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL)．∴GF＝GC．(2)如图，在AD上取点P，使AP＝AE，连接PE，则BE＝DP．由(1)可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，从而由∠ADC＝90°，得2∠2＋2∠3＝90°，∴∠EDH＝45°．又∵EH⊥DE，∴△DEH是等腰直角三角形．∴DE＝EH．∵∠1＋∠AED＝∠5＋∠AED＝90°，∴∠1＝∠5．∴△DPE≌△EBH(SAS)．∴PE＝BH．∵△PAE是等腰直角三角形，从而PE＝2AE．∴BH＝2AE．13．3＋15 [解析]∵正方形ABCD中，AB＝3，∴S正方形ABCD＝32＝9，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1∶3，∴S空白＝3，11\n∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°．∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF＋∠BCG＝90°，∴∠CBE＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，△BCG是直角三角形，易知S△BCG＝S四边形FGED＝32，∴S△BCG＝12BG·CG＝32，∴BG·CG＝3，根据勾股定理得：BG2＋CG2＝BC2，即BG2＋CG2＝9．∴(BG＋CG)2＝BG2＋2BG·CG＋CG2＝9＋2×3＝15，∴BG＋CG＝15，∴△BCG的周长＝BG＋CG＋BC＝3＋15．14．解：在正方形ABCD中，∠DAB＝90°．在Rt△BAE中，tan∠ABE＝AEAB＝236＝33，∴∠ABE＝30°．(1)分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°时，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝12AB＝3．②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°时，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝AB2－BT2＝33．11\n③当点T在AB下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF·tan60°＝33．在Rt△ABT中，AT＝AB2＋BT2＝37．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或33或37．(2)证明：如图③所示，在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．在Rt△EAB中，AP⊥BE，易知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°．∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4．∵tan∠1＝PBAP，tan∠3＝ABAE，∴PBAP＝ABAE，∵AE＝AF，AB＝BC，∴BPAP＝BCAF，∵∠4＝∠1，∴△PBC∽△PAF，∴∠5＝∠6．∵∠6＋∠7＝90°，∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．11\n11
