课时训练32四边形综合限时：30分钟夯实基础1．[2022·滨州]下列命题，其中是真命题的为( )A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．[2022·烟台]对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图K32－1所示，点O为对角线的交点，过点O所在直线折叠菱形，使B落到B'处，MN是折痕．若B'M＝1，则CN的长为( )图K32－1A．7B．6C．5D．43．如图K32－2，四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )图K32－2A．1B．2C．3D．324．如图K32－3，在正方形ABCD中，DE是∠BDC的平分线，若CE的长是1，则正方形的边长是( )12\n图K32－3A．2B．22＋1C．22－1D．2＋15．[2022·金华]如图K32－4，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则ABBC的值是 ． 图K32－46．[2022·自贡]如图K32－5，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形；点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意点，则PE＋PF的最小值是 ． 图K32－57．[2022·贵阳节选]如图K32－6，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC边上的一点，且BP＝2CP．(1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE，BE(保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图②，在(1)的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由．12\n图K32－6能力提升8．[2022·内江]如图K32－7所示，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA，OB分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为( )图K32－7A．32，323B．2，323C．323，32D．32，3－3239．如图K32－8，正方形ABCD内有两点E，F满足AE＝1，EF＝FC＝3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为( )12\n图K32－8A．4B．522C．42D．5210．[2022·吉林]如图K32－9①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为 ； (3)延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．图K32－912\n拓展练习11．如图K32－10所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠BCD＝150°，对角线AC平分∠DAB，AC＝6，则△DAB的面积为 ． 图K32－1012．[2022·金华、丽水]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．(1)如图K32－11，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．图K32－1112\n参考答案1．D [解析]等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以A选项是假命题;对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以B选项是假命题;对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以C选项是假命题;只有选项D是真命题．2．D [解析](法一，排除法)连接AC，BD，∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴CO＝3，DO＝4，CO⊥DO，∴CD＝5，而CN＜CD，∴CN＜5，故排除A，B，C，故选D．(法二，正确推导)可证△BMO≌△DNO，∴DN＝BM，由折叠得B'M＝BM＝1＝DN，由法一知CD＝5，∴CN＝4．3．C 4．D5．2＋14 [解析]设题图甲中正方形的边长为2x，则ABBC＝AE＋EBAG＋GD＝x＋2x4x＝2＋14．故答案为2＋14．6．菱 154 [解析]∵AD＝BD＝AC＝BC，∴四边形ADBC是菱形．作E关于AB的对称点E'，根据菱形的对称性可知点E'在AC上，连接E'F交AB于点P，∴PE＋PF＝PE'＋PF＝E'F，当E'F是AC，BD之间的距离时，E'F最小．过点B作BH⊥AC于点H，设AH＝x，则CH＝2－x，12\n由AB2－AH2＝BH2＝BC2－CH2，得1－x2＝4－(2－x)2，解得x＝14，∴BH＝1－(14) 2＝154．∴PE＋PF的最小值为154．7．解：(1)如图所示，点E为CD边中点．(2)EB不能平分∠AEC．由于E为CD中点，则△ADE≌△BCE，所以AE＝BE，若EB平分∠AEC，则∠DEA＝∠AEB＝∠CEB＝60°，由于DE＝1，所以AD＝3与AD＝3矛盾，所以在(1)的条件下，EB不能平分∠AEC．8．A [解析]∵四边形AOBC是矩形，∠ABO＝30°，点B的坐标为(0，33)，∴AC＝OB＝33，∠CAB＝30°，∴BC＝AC·tan30°＝33×33＝3．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD＝30°，AD＝33．如图，过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB＝∠BAD＝30°，∴∠DAM＝30°．∴DM＝12AD＝12×33＝332．∴AM＝ADcos30°＝33×32＝92．∴OM＝AM－AO＝92-3＝32．∴点D的坐标为32，323．9．B12\n10．解：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠DEF＝∠EFC，∵∠DEF＝∠A，∴∠A＝∠EFC，∴EF∥AB，∴四边形ADEF为平行四边形．(2)菱形．理由如下：∵点D为AB中点，∴AD＝12AB，∵DE∥AC，点D为AB中点，∴E为BC中点，∴DE＝12AC，∵AB＝AC，∴AD＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．(3)四边形AEGF为矩形，理由：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AF∥DE，AF＝DE，AD＝EF，∵EG＝DE，∴AF＝EG，又∵AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形，∵AD＝AG，∴AG＝EF，∴四边形AEGF为矩形．11．93 [解析]∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵∠BCD＝150°，∴∠ACB＋∠DCA＝150°，∵∠ADC＋∠DCA＝150°，∴∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∴AD·AB＝AC2＝36，作AB边上的高DH，则DH＝AD×sin60°，∴△DAB的面积＝12AB·AD·sin60°＝93．12．[解析](1)①由勾股定理可得AG，由相似三角形的性质得FGAF＝EGAC＝12，进而得FG的值;②根据题意先证得∠EAF＝∠EDF(设为x)，∠EAF＝∠EDF＝∠B＝∠BFD＝x．根据三角形内角和定理列方程，解得x＝30°．在Rt△ABC中，由BC＝ACtan30°可得解．12\n(2)存在．分情况讨论：①点D在线段BC上;②点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点F在AE上方;③点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方;④点D在线段CB的延长线上．解：(1)①在正方形ACDE中有DG＝GE＝6．在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝122＋62＝65．∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF．∴FGAF＝EGAC＝612＝12．∴FG＝13AG＝25．②如图①，在正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°．①又EF＝EF，∴△AEF≌△DEF．∴∠1＝∠2(设为x)．∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x．∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x．在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°．在Rt△ABC中，BC＝ACtan30°＝123．(2)存在．在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15．如图②，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD．12\n②∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA．设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x．∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，即x2－6x＋5＝0．解得x1＝1，x2＝5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4．如图③，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点F在AE上方时，此时只有GF＝DG．③设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x．∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴3x9＝9x＋129x＋27，即x2＝4．解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴腰长GD＝4x＋12＝20．如图④，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点F在BD下方时，此时只有DF＝DG．过点D作DH⊥FG．④12\n设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝(4x＋12)×45＝16x＋485，∴GF＝2GH＝32x＋965．∴AF＝GF－AG＝32x＋965-5x＝7x＋965．∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴ACEG＝AFFG，∴124x＝15(7x＋96)15(32x＋96)，即7x2＝288．解得x1＝12147，x2＝-12147(舍去)，∴腰长GD＝4x＋12＝84＋48147．如图⑤，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF＝DG，过点D作DH⊥AG．⑤设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝(4x－12)×45＝16x－485，∴FG＝2FH＝32x－965．∴AF＝AG－FG＝5x-32x－965＝96－7x5．∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴ACEG＝AFFG，∴124x＝15(96－7x)15(32x－96)，即7x2＝288．12\n解得x1＝12147，x2＝-12147(舍去)，∴腰长GD＝4x－12＝－84＋48147．综上所述，等腰三角形DFG的腰长为4，20，84＋48147，－84＋48147．12
