课时训练27多边形限时：30分钟夯实基础1．[2022·大庆]一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝( )A．7B．8C．9D．102．[2022·北京]若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为( )A．360°B．540°C．720°D．900°3．如图K27－1是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和( )图K27－1A．比原多边形少180°B．与原多边形一样C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°4．[2022·莱芜]一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( )A．12B．13C．14D．155．[2022·厦门思明区二模]如图K27－2，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径为2，则AC的长为( )图K27－2A．2πB．4π3C．2π3D．π310\n6．如图K27－3所示，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是( )图K27－3A．60°B．65°C．55°D．50°7．[2022·山西]图K27－4①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ 度． 图K27－48．[2022·宁德质检]小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算的这个内角的度数为 °． 9．如图K27－5所示，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B，E两点间的距离为 ． 图K27－510．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°．(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由．10\n(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．11．如图K27－6所示，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠A＝120°，∠C＝60°，∠D－∠B＝30°．(1)求∠D的度数．(2)AB∥CD吗？请说明理由．图K27－610\n能力提升12．[2022·铜仁]如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )A．8B．9C．10D．1113．如图K27－7所示，将五边形ABCDF沿AE对折，其中∠AEC＝72°，则∠CED'＝( )图K27－7A．42°B．30°C．36°D．45°14．[2022·三明质检]如图K27－8，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则AEAC的值是( )图K27－8A．22B．2C．3D．215．如图K27－9，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ ． 10\n图K27－916．[2022·南京]如图K27－10，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝ °． 图K27－1017．[2022·南平质检]如图K27－11，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝ ． 图K27－11拓展练习18．[2022·咸宁]如图K27－12，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2022时，顶点A的坐标为 ． 图K27－1219．[2022·台州]如图K27－13，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是 ． 10\n图K27－1320．如图K27－14所示，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．图K27－1410\n参考答案1．D 2．C3．D [解析]按题图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条，所以其内角和比原多边形的内角和多180°，故选D．4．C [解析]设多边形的边数是n，根据题意，得(n－2)·180＝2×360＋180．解得n＝7．七边形的对角线的条数是7×(7－3)2＝14．5．B [解析]如图所示，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×16＝60°，∴∠AOC＝120°，∴AC的长＝120×π×2180＝43π．故选B．10\n6．A 7．360 8．1009．810．解：(1)甲对，乙不对．∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360，解得n＝4．∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630，解得n＝112．∵n为整数，∴θ不能取630°．(2)依题意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180，解得x＝2．11．解：(1)∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°，∠A＝120°，∠C＝60°，∴∠B＋∠D＝270°，∵∠D－∠B＝30°，∴∠B＝120°，∠D＝150°．(2)AB∥CD．理由：∵∠B＝120°，∠C＝60°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD．12．A [解析]设多边形的边数是n，根据题意，得：(n－2)·180＝3×360，解得n＝8．13．C 14．B 15．540°16．72 [解析]如图，过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠CBF＝180°－∠1，∠ABF＝∠2，∴180°－∠1＋∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1－∠2＝72°．故答案为72．17．1510\n18．(2，23) [解析]如图所示，连接OA，设AF与y轴交于点M，则△AOB为等边三角形．∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴OA＝AB＝OB＝4，∠OAM＝60°．∴点B的坐标为(－4，0)．∵AF∥x轴，∴∠AMO＝90°，∴AM＝OA·cos∠OAM＝OA·cos60°＝4×12＝2，OM＝OA·sin∠OAM＝OA·sin60°＝4×32＝23，∴点A的坐标为(－2，23)．∵正六边形是轴对称图形，∴点C的坐标为(－2，－23)，点D的坐标为(2，－23)，点F的坐标为(2，23)，点E的坐标为(4，0)．∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，∴每旋转6次，点A都回到初始位置．当n＝2022时，∵2022÷6＝336……1，∴顶点A旋转到点F的位置，∴顶点A的坐标为(2，23)．19．62≤a≤3-3 [解析]如图所示，根据题意，AC为正方形对角线，即当A，C10\n分别是正六边形平行的两边中点时，此时AC取最小值，也即正方形边长最短，AC＝3，∴正方形边长的最小值为3÷2＝62．当正方形四个顶点都在正六边形各边上时，设正六边形与正方形的中心为O，正方形与正六边形某条边的一个交点为F，正六边形的一个顶点为Q，连接OF，OQ，OQ与正方形交于点P．则OQ⊥FP，∠FOP＝45°，∠FQP＝60°，设FP＝x，则OP＝x，PQ＝33x，∴OQ＝x＋33x＝1，∴x＝3－32，∴此时正方形边长的最大值为3-3．综上所述，正方形边长a的取值范围是62≤a≤3-3．20．解：如图所示，向两边延长AB，CD，EF，直线AB，EF交于点G，直线AB，CD交于点H，直线CD，EF交于点M．因为∠BAF＝120°，∠ABC＝80°，所以∠GAF＝60°，∠HBC＝100°．又因为AF∥CD，所以∠H＝∠GAF＝60°．因为∠BCD是△BHC的一个外角，所以∠BCD＝∠H＋∠HBC＝160°．因为AB∥DE，所以∠EDM＝∠H＝60°．由邻补角的定义可得∠CDE＝180°－∠EDM＝120°．10
