第9讲一元二次方程命题点年份各地命题形式考查频次2022考查方向一元二次方程的解2022云南(T5选)，曲靖(T12选)选择2个近3年考查4次，考查解一元二次方程，主要在选择题中体现，预计2022年会继续考查.2022普洱(T4选)，西双版纳(T7选)选择2个一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2022云南(T6选)，昆明(T13填)，曲靖(T14填)选择1个填空2个近3年考查6次，主要考查一元二次方程根的判别式，一般以选择和填空的形式出现，预计2022年会继续考查.2022昆明(T3选)，曲靖(T12选)选择2个2022昆明(T6选)选择1个一元二次方程的应用2022昆明(T6选)选择1个近3年共考查3次，主要考查根据实际情况列一元二次方程，预计2022年考查的可能性较大.2022昆明(T7选)，德宏(T22解)选择1个解答1个 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①________个未知数，且未知数的最高次数是②________的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③________，主要方法有：直接开平方法、④________法、公式法、⑤________法等. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥________.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0一元二次方程⑦____________的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程⑧________的实数根；7\n(3)b2－4ac＜0一元二次方程⑨________实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件．(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0. 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．求含根代数式值的几种类型1．已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的解 (2022·云南)一元二次方程x2－x－2＝0的解为()A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝2解一元二次方程要根据题目特点，选择适当的方法，若方程形如(x－m)2＝n(n≥0)的形式可以采用直接开方法求解，若方程一边为0，另一边可以因式分解，可以采用因式分解法解题，而公式法是一种最常见的方法，用时一定要把方程化为一元二次方程的一般式，满足b2－4ac≥0时，然后把a，b，c代入公式中．1．(2022·西双版纳)一元二次方程x2－2x－3＝0的解是()A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3D．x1＝1，x2＝32．(2022·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是____________．3．(2022·广东)解方程：x2－3x＋2＝0.4．(2022·徐州)解方程：x2＋4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (2022·曲靖)一元二次方程x27\n－5x＋c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝____________．(只需填一个)【思路点拨】 依题可得：解得0<c<，因为c为整数，所以c＝1、2、3、4、5、6.判断一元二次方程根的情况，要明确a，b，c的值，然后比较Δ＝b2－4ac与0的大小．利用韦达定理的时候一定要注意符号．1．(2022·云南)下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．4x2－5x＋2＝0B．x2－6x＋9＝0C．5x2－4x－1＝0D．3x2－4x＋1＝02．(2022·昆明)设x1，x2是方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1·x2的值为()A．－4B．－1C．1D．43．(2022·昆明)关于x的一元二次方程2x2－4x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．4．(2022·曲靖)若x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根为________．命题点3 一元二次方程的应用 (2022·昆明)某果园2022年水果产量为100吨，2022年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为()A．144(1－x)2＝100 B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100D．100(1＋x)2＝144【思路点拨】 根据增长率问题公式a(1±x)2＝b.直接代入数字就可以．1．(2022·昆明)如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为()A．100×80－100x－80x＝7644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644C．(100－x)(80－x)＝7644D．100x＋80x＝3562．(2022·东营)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是()A．5个 B．6个C．7个D．8个3．(2022·广州)某地区2022年投入教育经费2500万元，2022年投入教育经费3025万元．(1)求2022年至2022年该地区投入的教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2022年该地区将投入教育经费多少万元？7\n1．(2022·重庆A卷)一元二次方程x2－2x＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝0，x2＝22．(2022·昆明)一元二次方程2x2－5x＋1＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．(2022·金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是()A．4 B．－4 C．3 D．－34．(2022·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1B．1C．－4D．45．(2022·安徽)我省2022年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2022年增速位居全国第一．若2022年的快递业务量达到4.5亿件，设2022年与2022年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是()A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.56．(2022·衡阳)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为()A．x(x－10)＝900B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9007．(2022·济宁)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为()A．13B．15C．18D．13或188．(2022·成都)关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是()A．k＞－1B．k≥－1C．k≠0D．k＞－1且k≠0方程x2－2x－2＝0的解是____．10．(2022·南京)已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________．11．(2022·上海)如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．12．(2022·徐州)已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．13．解方程：4x2－6x＋1＝0.14．(2022·自贡)解方程：3x(x－2)＝2(2－x)．7\n15．(2022·梅州)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．16．(2022·东营)2022年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2022年的均价为每平方米5265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)17．(2022·广州)已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为()A．10B．14C．10或14D．8或1018．(2022·怀化)设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x＋x的值是()A．19B．25C．31D．3019．(2022·荆州)若m、n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为________．20．(2022·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．21．(2022·德宏)如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB∶CD＝5∶4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．(1)请求出AD的长(用含字母x的式子表示)；7\n(2)若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P127题型专项(二)类型3“方程(组)的解法”、P141～142题型专项(八)类型1“方程(组)、不等式的实际应用题”进行强化训练！考点解读考点1 ①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解考点2 ⑥b2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1 D题组训练 1.A 2.x1＝0，x2＝2 3.(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0.∴x1＝1，x2＝2. 4.方程可化为：x2＋4x＝1.即(x＋2)2＝5.∴一元二次方程的解为x1＝－2＋，x2＝－2－.例2 1(答案不唯一)题组训练 1.A 2.C 3.3 4.x＝－1例3 D题组训练 1.C 2.C 3.(1)设年平均增长率为x，那么可得2500(1＋x)2＝3025.解得x1＝－2.1(舍)，x2＝0.1＝10%.答：平均增长率为10%. (2)根据增长率的计算可得2022年投入的教育经费为：3025×(1＋0.1)＝3327.5(万元)．整合集训1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.x1＝1＋，x2＝1－ 10.3 －4 11.m<－4 12.－3 13.x2－x＋＝0，x2－x＝－.x2－x＋()2＝－＋()2.(x－)2＝.x－＝±，即x1＝＋，x2＝－＋. 14.3x2－6x＝4－2x.3x2－4x－4＝0.(x－2)(3x＋2)＝0.∴方程的解为x1＝2，x2＝－. 15.(1)∵b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－4a＞0，解得a＜3. (2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得解得则a的值是－1，该方程的另一根为－3. (1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得6500(1－x)2＝5265.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．7\n答：平均每年下调的百分率为10%. 如果下调的百分率相同，2022年的房价为：5265×(1－10%)＝4738.5(元/m2)．则100平方米的住房的总房款为：100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元)．∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现． 17.B 18.C 19.0 20.①③ 21.(1)作BE⊥AD于E，则∠AEB＝∠DEB＝90°.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∵BC∥AD，∴∠EBC＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE.∵AB∶CD＝5∶4，AB的长为5x米，∴CD＝4x米，∴BE＝4x米．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝3x.∵BC＝20－5x－4x＝20－9x，∴DE＝20－9x.∴AD＝20－9x＋3x＝20－6x. 由题意，得＝50.解得x1＝，x2＝1又∵20－9x＋20－6x＋4x＋5x≤30，解得x≥.∴x＝，∴AB＝5×＝(米)．7
