第7讲一元二次方程命题点年份题号考查内容考查频次考查方向一元二次方程的解法202221考查配方法解一元二次方程、平方根的定义、一元二次方程求根公式解答题1个常与其他知识相结合，预计2022年仍是与其他知识结合考查一元二次方程根的判别式202212一元二次方程根的判别式与不等式相结合选择题1个首次出现该知识点，应引起重视一元二次方程的应用202225(4)通过解一元二次方程，计算运营指数达到某一值时，运输次数和平均速度的变化值解答题1问常与二次函数相结合，预计2022年考查的可能性不大 一元二次方程的概念只含有①________个未知数，未知数的最高次数是②________，像这样的③________方程叫一元二次方程．其一般形式是④____________． 一元二次方程的解法直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的⑤________式，右边是一个非负常数.公式法求根公式为⑥________________，适用于所有的一元二次方程.因式分解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为⑦______；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 一元二次方程的应用(1)列一元二次方程解应用题的步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥作结论．(2)一元二次方程应用问题常见的等量关系：①增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；②利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；③利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价． 一元二次方程根的判别式8\n(1)根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由⑧________来判定，我们将⑨________称为根的判别式．(2)判别式与根的关系：①当b2－4ac>0方程有⑩________的实数根；②当b2－4ac<0方程没有实数根；③当b2－4ac＝0方程有________的实数根．【易错提示】 一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0.利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家． 命题点1 一元二次方程的解法 (2022·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：x2＋x＝－，……第一步x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步(x＋)2＝，……第三步x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步x＝.……第五步(1)嘉淇的解法从第________步开始出现错误；事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是________________．(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.【解答】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，需除以二次项系数之后再配方，这里可与二次函数的配方进行比较． 1．(2022·长沙改编)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则实数k的值为（）A．1B．－1C．2D．－22．(2022·唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为（）A．(x＋2)2＝9B．(x－2)2＝9C．(x＋2)2＝1D．(x－2)2＝13．(2022·厦门)方程x2＋x＝0的解是________________．4．用公式法解方程：(1)(2022·遂宁)x2＋2x－3＝0；8\n(2)(2022·淄博改编)x2＋2x－6＝0；(3)(2022·滨州改编)2x2－3x＋1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式 (2022·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1注意有实数根与有两个不相等的实数根的区别． 1.(2022·石家庄裕华区模拟)一元二次方程x2＋2x－c＝0中，c＞0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定2．(2022·宁德)如果方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是________．3．(2022·青岛)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．4．(2022·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)命题点3 一元二次方程的应用 (2022·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【解答】 8\n找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 1．(2022·百银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列方程为（）A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝62．(2022·安徽)我省2022年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2022年增速位居全国第一．若2022年的快递业务量达到4.5亿件，设2022年与2022年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.1．(2022·保定二模)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x－2＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞B．a≥C．a＞且a≠1D．a≥且a≠12．(2022·保定一模)方程(x＋1)(x－3)＝5的解是（）A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝23．(2022·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为（）A．1B．－1C．0D．－24．(2022·石家庄新华区质检)某工厂2022年的生产总值比2022年增长了12%，由于排污设备需要改造升级，预计今年比2022年增长7%，若这两年生产总值年平均增长率为x，则可列方程为（）A．12%＋7%＝xB．(1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x)C．12%＋7%＝2xD．(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x)25．(2022·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝156．(2022·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝________．7.(2022·济宁改编)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为________．8．(2022·白银)定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．8\n9．(2022·丽水)如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________________．10．解方程：(1)(2022·自贡)3x(x－2)＝2(2－x)；(2)(2022·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.11.(2022·唐山路北二模)已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根．(1)求m的值及方程的另一个根；(2)若7－x≥1＋m(x－3)，求x的取值范围．12．(2022·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.13．(2022·广元)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，”他的说法对吗？请说明理由．8\n14．(2022·淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？15.(2022·石家庄新华区质检)已知关于x的方程(k－1)x2＋2x＋1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k≤2D．k≤2且k≠116．(2022·成都改编)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm.(1)若花园的面积为192m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，若花园的面积为195平方米，能否将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)．8\n参考答案考点解读考点1 ①1 ②2 ③整式 ④ax2＋bx＋c＝0(a≠0)考点2 ⑤完全平方 ⑥x＝(b2－4ac≥0) ⑦0考点4 ⑧b2－4ac ⑨b2－4ac ⑩两个不相等 两个相等各个击破例1 (1)四 x＝ (2)方程x2－2x－24＝0变形，得x2－2x＝24，x2－2x＋1＝24＋1，(x－1)2＝25，x－1＝±5，x＝1±5，所以x1＝－4，x2＝6.题组训练 1.C 2.A 3.x1＝0，x2＝－1 4.(1)x1＝1，x2＝－3. (2)x1＝，x2＝－3. (3)x1＝1，x2＝.例2 B题组训练 1.B 2.1 3.由题意知b2－4ac＝32－4×2×(－m)＞0，解得m＞－.∴m的取值范围是m＞－. 4.(1)化简方程，得x2－5x＋(4－p2)＝0.∴Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2.∵p为实数，∴9＋4p2＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p为0、2、－2时，方程有正数解．例3 设每个商品的定价是x元，由题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000.整理，得x2－110x＋3000＝0.解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10(x－52)＝200(个)，不符合题意，舍去．当x＝60时，180－10(x－52)＝100(个)．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．题组训练 1.B 2.C整合集训1．D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.1 7.13 8.－1或4 9.(30－2x)(20－x)＝78×6 10.(1)3x(x－2)－2(2－x)＝0，3x(x－2)＋2(x－2)＝0，(3x＋2)(x－2)＝0，x1＝－，x2＝2. (2)原方程可化为x2－6x＋8＝0.∴(x－3)2＝1.∴x－3＝±1.∴x1＝2，x2＝4. 11.(1)把x＝2代入x2＋3x＋m－2＝0，得4＋6＋m－2＝0.∴m＝－8.方程化为x2＋3x－10＝0.解得x1＝2，x2＝－5.∴m＝－8，另一个根为－5.(2)7－x≥1－8(x－3)，解得x≥. 12.(1)2.6(1＋x)2 (2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%. 13.(1)设其中一个正方形的边长为xcm，由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)．答：小林应剪成12cm和28cm的两段．(2)假设能围成．由(1)，得x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.8\n因为Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的． 14.(1)(100＋200x) (2)根据题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300.解得x1＝0.5,x2＝1.∵每天至少售出260斤，∴x＝1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 15.C 16.(1)∵AB＝xm，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192.解得x1＝12，x2＝16.∴x的值为12m或16m．(2)由题意可得x(28－x)＝195.解得x1＝15，x2＝13.当x＝15时，28－x＝13＜15，不能将这棵树围在花园内；当x＝13时，28－x＝15，能将这棵树围在花园内．综上，能将这棵树围在花园内．8
