锐角三角函数及其应用22锐角三角函数及其应用限时:30分钟夯实基础1.计算:cos245°+sin245°=( )A.12B.1C.14D.222.[2022·柳州]如图K22-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB=ACAB=( )图K22-1A.35B.45C.37D.343.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,BC=6,则AB等于( )A.4B.6C.8D.104.[2022·贵阳]如图K22-2,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为( )A.12B.1C.33D.3图K22-25.如图K22-3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为( )10\n图K22-3A.13B.2-1C.2-3D.146.如图K22-4,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD=60°.为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD=45°,则调整后的楼梯AC的长为( )图K22-4A.23mB.26mC.(23-2)mD.(26-2)m7.如图K22-5,为了测量楼的高度,从楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°.已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m,那么楼的高度AC为 m(结果保留根号). 图K22-58.如图K22-6,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= . 图K22-69.[2022·自贡]如图K22-7,在△ABC中,BC=12,tanA=34,∠B=30°.求AC和AB的长.10\n图K22-7能力提升10.[2022·陕西]如图K22-8,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为( )图K22-8A.432 B.22 C.832 D.3211.如图K22-9是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰在半圆上,过点C作CD⊥AB,交AB于点D.若cos∠ACD=35,BC=4,则AC的长为( )图K22-9A.1B.203C.3D.16312.已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于 . 13.如图K22-10,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sinA=45,求AD的长.10\n图K22-1014.[2022·贵阳]如图K22-11①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法:∵sinA=ac,sinB=bc,∴c=asinA,c=bsinB.∴asinA=bsinB.根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角三角形ABC中,探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.图K22-11拓展练习15.[2022·嘉兴]如图K22-12①,滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为△PDE,F为PD的中点,AC=2.8m,PD=2m,CF=1m,∠DPE=20°.当点P位于初始位置P0时,点D与C重合(图②).10\n根据生活经验,当太阳光线与PE垂直时,遮阳效果最佳.(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为65°(图③),为使遮阳效果最佳,点P需从P0上调多少距离?(结果精确到0.1m)(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图④),为使遮阳效果最佳,点P在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到0.1m)(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,2≈1.41,3≈1.73)图K22-1210\n参考答案1.B2.A [解析]由勾股定理,得AB=AC2+BC2=32+42=5.根据正弦的定义,得sinB=ACAB=35.3.D 4.B 5.A 6.B7.103 8.139.解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB于点D.在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=12,∴sinB=CDBC=CD12=12.∴CD=6.cosB=BDBC=BD12=32,∴BD=63.在Rt△ACD中,tanA=34,CD=6,∴tanA=CDAD=6AD=34,∴AD=8.∴AC=AD2+CD2=82+62=10,AB=AD+BD=8+63.综上所述,AC的长为10,AB的长为8+63.10.C [解析]∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,10\n∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE=12BE.∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°.∴AE=BE=2DE.∴AE=23AD.在Rt△ACD中,sinC=ADAC,∴AD=AC·sinC=8×22=42.∴AE=23×42=832.故选C.11.D12.153或103 [解析]分两种情况求解:(1)如图①所示,作AD⊥BC于点D.∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又∵AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD+CD=53+3=63.∴△ABC的面积为12BC·AD=12×63×5=153.(2)如图②所示,作AD⊥BC于点D.∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又∵AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD-CD=53-3=43.∴△ABC的面积为12BC·AD=12×43×5=103.综上所述,△ABC的面积等于153或103.10\n13.解:(1)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,∠A=60°,AB=6,tanA=BEAB,∴BE=6×tan60°=63.在Rt△CDE中,∵∠CDE=90°,∠E=90°-60°=30°,CD=4,∴CE=2CD=8.∴BC=BE-CE=63-8.(2)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,sinA=45,∴BEAE=45.设BE=4x,则AE=5x.∴AB=3x=6.∴x=2.∴BE=8,AE=10.在Rt△CDE中,∵∠CDE=90°,CD=4,tanE=CDED,而在Rt△ABE中,tanE=34,∴CDED=34.∴ED=43CD=163.∴AD=AE-ED=143.14.解:asinA=bsinB=csinC.理由如下:过点A作AD⊥BC.在Rt△ABD中,sinB=ADc,即AD=csinB.在Rt△ADC中,sinC=ADb,即AD=bsinC.∴csinB=bsinC,即bsinB=csinC.同理可得asinA=csinC,则asinA=bsinB=csinC.10\n15.解:(1)如图①,当点P位于初始位置P0时,CP0=2m.如图②,10:00时,太阳光线与地面的夹角为65°,点P上调至P1处,∵∠1=90°,∠CAB=90°,∴∠AP1E=115°.∴∠CP1E=65°.∵∠DP1E=20°,∴∠CP1F=45°.∵CF=P1F=1m,∴∠C=∠CP1F=45°.∴△CP1F为等腰直角三角形.∴CP1=2m.∴P0P1=CP0-CP1=2-2≈0.6(m).即点P需从P0上调0.6m.(2)如图③,中午12:00时,太阳光线与P2E,地面都垂直,点P上调至P2处,10\n∴P2E∥AB.∵∠CAB=90°,∴∠CP2E=90°.∵∠DP2E=20°,∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°.∵CF=P2F=1m,∴△CP2F为等腰三角形.过点F作FG⊥CP2于点G.∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34(m).∴CP2=2GP2=0.68(m).∴P1P2=CP1-CP2=2-0.68≈0.7(m),即点P在(1)的基础上还需上调0.7m.10
