课时训练(十九) 锐角三角函数及其应用(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2022·柳州]如图K19-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB=ACAB=( )图K19-1A.35B.45C.37D.342.[2022·金华]如图K19-2,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( )图K19-2A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα3.[2022·宜昌]如图K19-3,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于( )13\n图K19-3A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米4.[2022·苏州]如图K19-4,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )图K19-4A.40海里B.60海里C.203海里D.403海里5.[2022·重庆A卷]如图K19-5,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度为(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)( )13\n图K19-5A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米6.[2022·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tanA=12,则sinB= . 7.[2022·枣庄]如图K19-6,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为 米.(精确到0.1,参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601) 图K19-68.[2022·葫芦岛]如图K19-7,某景区的两个景点A,B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A,B间的距离为 米(结果保留根号). 图K19-79.[2022·临沂]如图K19-8,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门?图K19-813\n10.[2022·长沙]为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图K19-9,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)图K19-911.[2022·徐州]如图K19-10,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90m,楼间距为AB.13\n冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3m,则点C位于第几层?(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47)图K19-10|拓展提升|12.[2022·娄底]如图K19-11,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,则sinα-cosα=( )13\n图K19-11A.513B.-513C.713D.-71313.[2022·眉山]如图K19-12,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD= . 图K19-1214.[2022·泰安]如图K19-13,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为 . 图K19-1315.[2022·赤峰]阅读下列材料:如图K19-14,在△ABC中,∠BAC,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,可以得到:S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA.图K19-14证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,sinB=ADc,13\n∴AD=c·sinB,∴S△ABC=12a·AD=12acsinB.同理:S△ABC=12absinC,S△ABC=12bcsinA.∴S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA.(1)通过上述材料证明:asinA=bsinB=csinC;(2)运用(1)中的结论解决问题:如图K19-15,在△ABC中,∠B=15°,∠C=60°,AB=203,求AC的长度;图K19-15(3)如图K19-16,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A,B,C三个测量点,在B点测得A在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点,测得A在北偏西45°方向上,根据以上信息,求A,B,C三点围成的三角形的面积.(本题参考数值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,2≈1.4,结果取整数)图K19-1613\n13\n参考答案1.A2.B [解析]在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα,故选B.3.C [解析]在Rt△PCA中,∠APC=90°,tan∠PCA=APPC,得到PA=PC·tan∠PCA=100tan35°(米).4.D [解析]在Rt△PAB中,∵∠APB=30°,∴PB=2AB.由题意知BC=2AB,∴PB=BC,∴∠C=∠CPB.∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C=30°,∴PC=2PA,∵PA=AB·tan60°,∴PC=2×20×3=403(海里),故选D.5.B [解析]过点C作CN⊥DE于点N,延长AB交ED的延长线于点M,则BM⊥DE于点M,则MN=BC=1米.∵斜坡CD的坡比i=1∶0.75,∴令CN=x,则DN=0.75x.在Rt△CDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=22,解得x=1.6,从而DN=1.2米.∵DE=7米,∴ME=MN+ND+DE=9.2米,AM=(AB+1.6)米.在Rt△AME中,tan∠AEM=AMEM,即AB+1.69.2=tan58°,从而AB+1.69.2≈1.6,解得AB≈13.1(米),故选B.6.255 [解析]根据tanA=12,∠C=90°可设BC=1,则AC=2,AB=5,所以sinB=25=255.7.6.2 [解析]在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB·sin∠BAC≈12×0.515≈6.2(米).8.(100+1003) [解析]∵MN∥AB,∴∠A=∠MCA=45°,∠B=∠NCB=30°.∵CD=100,∴AD=CDtan45°=100,DB=CDtan30°=1003.∴AB=AD+DB=(100+1003)米.9.解:过点B作BD⊥AC,垂足为点D.在Rt△ABD中,∠ABD=90°-∠A=60°,则AD=tan∠ABD·BD=3BD.在Rt△BCD中,∠C=45°,13\n∴CD=BD.∴AC=AD+CD=3BD+BD=(3+1)BD=2(3+1),解得:BD=2.∵2m<2.1m,故工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.10.解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.Rt△BCD中,CD=BC·sinB=40(千米),Rt△ACD中,AC=CDsinA=402(千米),AC+BC=402+80≈136.4(千米).答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.(2)Rt△BCD中,BD=BC·cosB=403(千米),Rt△ACD中,AD=CDtanA=40(千米),AB=AD+BD=40+403≈109.2(千米),AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).答:开通隧道后,汽车从A地到B地大约可少走27.2千米.11.解:(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知:∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°,13\n在Rt△PCE中,PE=CE×tan32.3°≈0.63CE,在Rt△PDF中,PF=DF×tan55.7°≈1.47CE,∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m).答:楼间距AB为50m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点C位于第20层.答:点C位于第20层.12.D [解析]∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去),在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,sinα-cosα=513-1213=-713.13.2 [解析]如图,连接AE,BE,易证CD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,显然△ABE是直角三角形,∴tan∠AOD=tan∠ABE=AEBE=222=2.13\n14.1010 [解析]由折叠知∠BA'E=∠A=90°,AE=A'E,A'B=AB=6,故在Rt△A'BC中,由勾股定理,得A'C=BC2-A'B2=102-62=8,设AE=A'E=x,则CE=x+8,DE=10-x,在Rt△CDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在Rt△ABE中,BE=22+62=210.所以sin∠ABE=AEBE=2210=1010.15.解:(1)∵12absinC=12acsinB,∴bsinB=csinC.同理:asinA=bsinB.∴asinA=bsinB=csinC.(2)由(1)可知:ACsinB=ABsinC,即ACsin15°=203sin60°,解得:AC≈12.(3)过点A作AD⊥BC于点D.由(1)可知:BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.由题意可知∠BAC=∠BAD+∠CAD=75°+45°=120°,∴18sin120°=ACsin15°,解得:AC≈6,∴AD=22AC=22×6=32≈4.2(km).∴S△ABC=12AD·BC=12×4.2×18≈38(km2).13\n13
