课时训练25锐角三角函数限时：30分钟夯实基础1．计算：cos245°＋sin245°＝( )A．12B．1C．14D．222．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝( )A．4B．6C．8D．103．[2022·天水]在正方形网格中△ABC的位置如图K25－1所示，则cosB的值为( )图K25－1A．12 B．22C．32 D．334．[2022·宜昌]△ABC在网格中的位置如图K25－2所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是( )图K25－2A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝15．[2022·娄底]如图K25－12\n3，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝( )图K25－3A．513B．－513C．713D．－7136．[2022·三明质检]如图K25－4，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡从A滑行至B．已知AB＝500米，则这名滑雪运动员下降的垂直高度为 米． (参考数据：sin34°≈0．56，cos34°≈0．83，tan34°≈0．67)图K25－47．[2022·泰安]如图K25－5，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 ． 图K25－58．[2022·湖州]如图K25－6，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC＝13，AC＝6，则BD的长是 ． 图K25－69．如图K25－7，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinB＋cosB的值．12\n图K25－710．如图K25－8，直线y＝12x＋32与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B．(1)求点B的坐标；(2)求sin∠BAO的值．图K25－812\n能力提升11．[2022·泉州质检]如图K25－9，在3×3的正方形网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与网格线的交点，则sin∠BAC的值是( )图K25－9A．12B．23C．53D．25512．[2022·枣庄]如图K25－10，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则△PCE的面积为 ． 图K25－1013．[2022·无锡]已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 ． 14．如图K25－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求：(1)线段BE的长；(2)∠ECB的正切值．12\n图K25－11拓展练习15．[2022·苏州]如图K25－12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝25，BC＝5．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'，连接B'C，则sin∠ACB'＝ ． 图K25－1212\n16．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作sad)．如图K25－13①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边腰＝BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值是一一对应的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝ ； (2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝65，求tanB的值；(3)如图③，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若sinA＝35，试求sadA的值．图K25－1312\n参考答案1．B 2．D3．B [解析]过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形，故cosB＝cos45°＝22，故选B．4．C [解析]观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝22，CD＝1，AC＝5，∴sinα＝cosα＝22，故A正确;tanC＝ADCD＝2，故B正确;tanα＝1，故D正确;∵sinβ＝CDAC＝55，cosβ＝255，∴sinβ≠cosβ，故C错误．故选C．5．D [解析]根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13，小正方形面积为49得到两直角边的差为7，易得两直角边为12和5，得到sinα－cosα＝513-1213＝-713，故选D．6．2807．1010 [解析]∵矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，∴Rt△AEB≌Rt△A'EB．∴AE＝A'E，AB＝A'B＝6，∠A＝∠BA'E＝90°．12\n在Rt△CBA'中，由勾股定理求得：A'C＝BC2－A'B2＝102－62＝8，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，设AE＝x，则EC＝8＋x，ED＝10－x，在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2，即(8＋x)2＝(10－x)2＋62，解得x＝2，在Rt△AEB中，BE＝AB2＋AE2＝62＋22＝210，∴sin∠ABE＝AEBE＝2210＝1010，故答案为1010．8．2 [解析]∵菱形的对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD．∵tan∠BAC＝13，∴BOAO＝13．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝1．∴BD＝2BO＝2．故填2．9．解：∵CD⊥AB，CD＝6，AB＝12，∴tanA＝6AD＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8．在Rt△BCD中，BC＝82＋62＝10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC＝45，∴sinB＋cosB＝75．10．解：(1)由题意，得y＝12x＋32，y＝2x，解得x＝1，y＝2，∴B(1，2)．(2)过B作BC⊥x轴，垂足为C，∴BC＝2．当y＝0时，12x＋32＝0，解得x＝－3，∴A(－3，0)，AC＝4．AB＝42＋22＝25，∴sin∠BAO＝225＝55．12\n11．B12．9－53 [解析]如图，过点P作PF⊥CD于点F，作PG⊥BC于点G，易得BP＝23．在Rt△BGP中，∵∠PBC＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝3，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－BG＝23-3，则PF＝23-3，∵∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠PAD＝30°，∴DE＝AD·tan∠PAD＝2，∴CE＝DC－DE＝23-2，∴S△PCE＝12PF·CE＝12×(23-3)×(23-2)＝9－53．13．153或103 [解析]分两种情况求解：(1)如图①所示，作AD⊥BC于点D，∵AB＝10，∠B＝30°，∴AD＝AB·sinB＝12×10＝5，BD＝AB·cosB＝10×32＝53．又∵AC＝27，∴CD＝AC2－AD2＝(27)2－52＝3．∴BC＝BD＋CD＝53＋3＝63，∴△ABC的面积为12BC·AD＝12×63×5＝153．(2)如图②所示，作AD⊥BC交BC的延长线于点D，12\n∵AB＝10，∠B＝30°，∴AD＝AB·sinB＝12×10＝5，BD＝AB·cosB＝10×32＝53．又∵AC＝27，∴CD＝AC2－AD2＝(27)2－52＝3．∴BC＝BD－CD＝53-3＝43，∴△ABC的面积为12BC·AD＝12×43×5＝103．综上所述，△ABC的面积等于153或103．14．解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝45°，AB＝AC2＋BC2＝32．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵∠A＝45°，∴AE＝AD·cos45°＝2，∴BE＝AB－AE＝22．(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴BH＝EB·cos45°＝2，EH＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，tan∠ECB＝EHCH＝2．12\n15．45 [解析]如图，过点B'作B'D⊥AC于点D，由旋转可知：∠B'AB＝90°，AB'＝AB＝25，∴∠AB'D＋∠B'AD＝∠B'AD＋∠CAB，∴∠AB'D＝∠CAB．∵AB＝25，BC＝5，∴AC＝5，∴AD＝AB'·sin∠AB'D＝AB'·sin∠CAB＝25×55＝2，∴CD＝5－2＝3，在Rt△AB'D中，B'D＝(25)2－22＝4，∴B'C＝5，∴sin∠ACB'＝B'DB'C＝45．16．解：(1)∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴sad60°＝底边腰＝1．故填1．(2)如图①所示，作CD⊥BA于点D，∵△ABC中，CB＝CA，sadC＝65＝ABBC，∴AB＝65BC，BD＝AD＝12AB＝35BC．12\n∴CD＝BC2－BD2＝BC2－(35BC) 2＝45BC．∴tanB＝CDBD＝45BC35BC＝43．(3)如图②所示，延长AC至E，使AE＝AB，连接BE，设AB＝5a，则AE＝5a．∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝35，∴BC＝3a，AC＝4a．∴EC＝5a－4a＝a，∴BE＝a2＋(3a)2＝10a，∴sadA＝BEAB＝10a5a＝105．12
