课时训练(二十二) 锐角三角函数(限时:20分钟)|夯实基础|1.[2022·天津]cos60°的值等于( )A.3B.1C.22D.122.[2022·湖州]如图K22-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是( )图K22-1A.35B.45C.34D.433.[2022·益阳]如图K22-2,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了( )12\n图K22-2A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.300tanα米4.[2022·常州]某数学研究性学习小组制作了如图K22-3的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O转,从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( )图K22-3A.58B.78C.710D.455.[2022·日照]如图K22-4,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于( )图K22-4A.255B.255C.2D.126.[2022·荆州]如图K22-5,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点,当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是( )12\n图K22-5A.2B.3C.4D.57.[2022·天水]已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=1213,则tanB的值为 . 8.如图K22-6,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是 . 图K22-69.[2022·枣庄]如图K22-7,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度约为 米.(结果精确到0.1米) 【参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601】图K22-710.如图K22-8,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= . 图K22-811.计算:(1)12+12-1-(3-π)0-1-2cos30°;12\n(2)6tan230°-3sin60°-2sin45°.12.如图K22-9,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4.求BC的长(结果保留根号).图K22-912\n13.如图K22-10,AD是△ABC的中线,tanB=13,cosC=22,AC=2.求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.图K22-1014.如图K22-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.图K22-1112\n|拓展提升|15.[2022·福建]小明在某次作业中得到如下结果:sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,sin245°+sin245°=222+222=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.12\n12\n参考答案1.D2.A [解析]在Rt△ABC中,cosB=BCAB=35.3.A [解析]∵sinα=BOAB,∴BO=ABsinα=300sinα米,故选择A.4.D [解析]如图,连接EF,由题意可知OF=0.8,OE=1,∵∠OEF+∠EOF=∠EOF+∠BOF,∴∠OEF=∠AOB,∵OE是直径,∴∠EFO=90°,∴sin∠AOB=OFOE=45,故选D.5.D [解析]如图,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∴tan∠BAC=BCAB=12.∵∠BED=∠BAD,∴tan∠BED=12.故选D.6.B [解析]如图所示,当点D到弦OB的距离最大时,DE⊥OB于E点,且D,E,P三点共线.连接AB,由题意可知AB为☉P的直径,∵A(8,0),∴OA=8,∵B(0,6),∴OB=6,∴OE=BE=12OB=3,在Rt△AOB中,AB=OA2+OB2=10,∴BP=12AB=12×10=5,在Rt△PEB中,PE=BP2-BE2=4,∴DE=EP+DP=4+5=9,∴tan∠DOB=DEOE=93=3,故选B.12\n7.512 [解析]在Rt△ABC中,sinA=1213,令BC=a=12k,AB=c=13k,根据勾股定理,得AC=b=5k.∴tanB=ba=512.8.92 [解析]作AB⊥x轴于B,∵点A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3,又∵tanα=ABOB=32,∴t=92.9.6.2 [解析]运用锐角三角函数:BCAB=sin∠BAC,即BC12=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.10.22 [解析]如图,连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=6,AC=2,∴BC=AB2-AC2=62-22=42,又∵∠D=∠A,∴tanD=tanA=BCAC=422=22.12\n故答案为22.11.解:(1)原式=23+2-1-1-3=23+2-1+1-3=3+2.(2)原式=6×332-3×32-2×22=12-2.12.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°,∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°,∴AB=3BC,∴AD+BD=3BC,即AD+BC=3BC.∵AD=4,∴4+BC=3BC,解得BC=23+2.13.[解析](1)过点A作AE⊥BC于点E,根据cosC=22,求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根据tanB=13,求出BE,进而求出BC;(2)根据AD是△ABC的中线,求出CD的长,得到DE的长,进而得出∠ADC的度数,求出正弦值.解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,12\n∵cosC=22,∴∠C=45°,在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,∴AE=CE=1,在Rt△ABE中,tanB=13,即AEBE=13,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=12BC=2,∴DE=CD-CE=1,∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=22.14.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=∠B=45°,AB=AC2+BC2=32+32=32,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴AE=AD·cos45°=2×22=2,∴BE=AB-AE=32-2=22,即线段BE的长为22.12\n(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,∴EH=BH=BE·cos45°=22×22=2,∵BC=3,∴CH=1,在Rt△CHE中,tan∠ECB=EHCH=2,即∠ECB的正切值为2.15.解:(1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=122+322=14+34=1.所以sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α.sin2α+sin2(90°-α)=BCAB2+ACAB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1.12
