课时训练(十九) 锐角三角函数及其应用(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2022·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tanA=12,则sinB= . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=32;②cosB=12;③tanA=33;④tanB=3.其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号). 3.[2022·湖州]如图K19-1,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=13,AC=6,则BD的长是 . 图K19-14.[2022·枣庄]如图K19-2,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为 米.(精确到0.1米) (参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)10\n图K19-25.如图K19-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )图K19-3A.sinB=ADABB.sinB=ACBCC.sinB=ADACD.sinB=CDAC6.如图K19-4,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为( )图K19-4A.1200mB.12022mC.12022mD.2400m7.[2022·金华、丽水]如图K19-5,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( )10\n图K19-5A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα8.如图K19-6,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B的长为( )图K19-6A.2-2B.32C.3-1D.19.[2022·绵阳]为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺.先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B.测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m,如图K19-7所示,已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆的高度等于( )图K19-7A.10mB.12mC.12.4mD.12.32m10.[2022·重庆B卷]如图K19-8,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A10\n的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)( )图K19-8A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米11.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园,如图K19-9,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)图K19-910\n12.[2022·丽水]如图K19-10是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15m,AB=2.70m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)图K19-1013.[2022·曲靖罗平县模拟]如图K19-11,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处,现有一艘轮船从位于点A南偏东75°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向的E处,求这艘轮船的航行路程CE的长度.(精确到0.1km,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)图K19-1110\n|拓展提升|14.已知α,β均为锐角,且满足sinα-12+(tanβ-1)2=0,则α+β= . 15.[2022·舟山]如图K19-12,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=13,tan∠BA3C=17,计算tan∠BA4C= ,…,按此规律,写出tan∠BAnC= (用含n的代数式表示). 图K19-1210\n参考答案1.255 [解析]设BC=x,则AC=2x,根据勾股定理可知AB=5x,故sinB=ACAB=2x5x=255.2.②③④ [解析]因为∠C=90°,AB=2BC,所以该直角三角形是含30°角的直角三角形,故BC∶AB∶AC=1∶2∶3.令BC=1,AB=2,AC=3,作出图形.①sinA=BCAB=12;②cosB=BCAB=12;③tanA=BCAC=33;④tanB=ACBC=3.故答案为②③④.3.2 [解析]∵菱形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD.∵tan∠BAC=13,∴BOAO=13.∵AC=6,∴AO=3,∴BO=1,∴BD=2BO=2.故填2.4.6.2 [解析]BCAB=sin∠BAC,即BC12=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.5.C6.D [解析]∵∠α=30°,∴∠ABC=30°.又∵∠C=90°,∴AB=2AC=2400m.7.B [解析]由锐角三角函数的定义,得AB=ACsinα,AD=ACsinβ,∴AB与AD的长度之比为sinβsinα,故选B.8.C9.B10.A [解析]过点D作DE⊥BC,垂足为E,解直角三角形CDE得:DE=75,CE=180,根据BC=306可求得BE=126,过A作AF⊥DE于点F,所以AF=BE=126米,∵∠DAF=20°,根据tan20°≈0.364,即DFAF=DF126=0.364,求得DF=45.864米,∴AB=75-DF≈29.1(米).11.解:如图,作AD⊥BC于点D,BH⊥水平线于点H.10\n由题意得∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°.∵AB=4×8=32(米),∴AD=CD=AB·sin30°=16(米),BD=AB·cos30°=163(米).∴BC=CD+BD=16+163(米).∴BH=BC·sin30°=8+83(米).故这架飞机的飞行高度是(8+83)米.12.[解析]过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE得出结果.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°,在Rt△ABF中,AB=2.70,∴AF=2.70×cos70°≈2.70×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1(m).答:端点A到地面CD的距离约是1.1m.13.解:如图,在Rt△BDF中,∵∠DBF=60°,BD=4km,10\n∴BF=BDcos60°=8(km).∵AB=20km,∴AF=12km,∵∠AEF=∠BDF,∠AFE=∠BFD,∴△AEF∽△BDF,∴AEAF=BDBF,∴AE=6km,在Rt△ACE中,CE=AE·tan75°≈22.4(km).故这艘轮船的航行路程CE的长度约是22.4km.14.75°15.113 1n2-n+1 [解析]过点C作CH⊥BA4于H,由勾股定理得BA4=42+12=17,A4C=32+12=10,∵△BA4C的面积=4-12×1×4-12×1×3=12,∴12×17CH=12,∴CH=1717,则A4H=A4C2-CH2=131717,∴tan∠BA4C=CHA4H=1717131717=113.∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,13=42-4+1,∴tan∠BAnC=1n2-n+1.10\n10
