第17讲 相似三角形A组 基础题组一、选择题1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是( )A.4B.4.5C.5D.5.52.(2022广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( )A.12B.13C.14D.163.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.ADAB=ABBC9\n4.如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为( )A.15B.10C.152D.55.(2022淄博)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为( )A.52B.83C.103D.1546.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB∶AC等于( )A.BD∶CDB.AD∶CDC.BC∶ADD.BC∶AC二、填空题7.如图,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,若AB=2,则此三角形移动的距离AA'是 . 三、解答题8.(2022泰安)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.(1)证明:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.9\nB组 提升题组 一、选择题1.如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论:①DEBC=12;②S△DOES△BOC=12;③ADAB=OEOB;④S△DOES△ADC=13.其中,正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=-1x、y=2x的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变二、填空题3.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF=23EH,那么EH的长为 . 9\n三、解答题4.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证:AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.第17讲 相似三角形A组 基础题组一、选择题1.B 2.C3.D A.∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;B.∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;C.∵AB2=AD·AC,∴ACAB=ABAD,∠A=∠A,△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;D.ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.故选D.4.D ∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA.∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积∶△ABC的面积为1∶4,∴△ACD的面积∶△ABD的面积为1∶3.9\n∵△ABD的面积为15,∴△ACD的面积为5.故选D.5.C 延长FE交AB于点D,作EG⊥BC,EH⊥AC,则ED=EG=EH=AB+BC-AC2=6+8-102=2.设EF=FC=x.∵△ADF∽△ABC,∴DFBC=AFAC,∴2+x8=10-x10.即x=103.故选C.6.A 如图,过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,∵BE∥AC,∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,∴△BDE∽△CDA,∴BDCD=BEAC,又∵AD是角平分线,∴∠E=∠DAC=∠BAD,∴BE=AB,∴ABAC=BDCD,∴AB∶AC=BD∶CD.二、填空题9\n7.答案 2-1解析 设BC与A'C'交于点E,由平移的性质知,AC∥A'C',∴△BEA'∽△BCA,∴S△BEA'∶S△BCA=A'B2∶AB2=1∶2.∵AB=2,∴A'B=1,∴AA'=AB-A'B=2-1.三、解答题8.解析 (1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵∠ADC+∠PDC=90°,∴∠BDC=∠PDC.(2)过点C作CM⊥PD于点M.∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,∴△CPM∽△APD,∴CMAD=PCPA.设CM=CE=x.∵CE∶CP=2∶3,9\n∴PC=32x.∵AB=AD=AC=1,∴x1=32x32x+1,解得x=13,故AE=1-13=23.B组 提升题组一、选择题1.B ∵CD,BE是△ABC的中线,即D,E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12BC,DE∥BC,∴DEBC=12,∴△DOE∽△COB,则S△DOES△BOC=DEBC2=122=14,ADAB=DEBC=OEOB=12,故①正确,②错误,③正确.设△ABC的BC边上的高为AF,则S△ABC=12BC·AF,S△ACD=12S△ABC=14BC·AF.∵在△ODE中,DE=12BC,DE边上的高是13×12AF=16AF,∴S△ODE=12×12BC×16AF=124BC·AF,∴S△DOES△ADC=124BC·AF14BC·AF=16,故④错误.2.D 如图,分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴.∵∠AOB=90°,∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°,∴∠BOM=∠OAN,9\n∵∠BMO=∠ANO=90°,∴△BOM∽△OAN,∴BMON=OMAN.设B-m,1m,An,2n,则BM=1m,AN=2n,OM=m,ON=n,∴mn=2mn,mn=2.∵∠AOB=90°,∴tan∠OAB=OBOA①.∵△BOM∽△OAN,∴OBOA=BMON=1mn=22②,由①②知tan∠OAB=22为定值,∴∠OAB的大小不变.二、填空题3.答案 32解析 ∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC,设AD与EH交于点M,∵AM⊥EH,AD⊥BC,∴AMAD=EHBC,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,∴2-2x2=3x3,解得x=12,则EH=32.9\n三、解答题4.解析 (1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C.∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,∴PBCD=ABCP,即AB·CD=CP·BP.又∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.又∵∠B=∠B,∴△BAP∽△BCA,∴BABC=BPBA.∵AB=10,BC=12,∴1012=BP10,∴BP=253.9
