第18讲 直角三角形与三角函数A组 基础题组一、选择题1.(2022日照)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为( )A.513B.1213C.512D.1252.(2022滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 ( )A.5B.6C.7D.83.(2022临沂)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是( )A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m4.(2022泰山模拟)直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是( )A.247B.73C.724D.1312\n5.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=35米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C.8米D.(3+5)米二、填空题6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,则sinB= . 7.(2022泰安模拟)如图,是矗立在泰安岱庙前的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为 米(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73). 8.(2022德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是 . 三、解答题9.(2022东营)关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.(1)求sinA的值;(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.12\nB组 提升题组 一、选择题1.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为( )A.3B.154C.5D.1522.(2022枣庄)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )A.24B.14C.13D.23二、填空题3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 . 12\n4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1、l2、l3分别经过点A、B、C,则边AC的长为 . 三、解答题5.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?12\n第18讲 直角三角形与三角函数A组 基础题组一、选择题1.B 在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=AB2-AC2=12,∴sinA=BCAB=1213.故选B.2.A ∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦为32+42=5.故选A.3.B ∵EB∥CD,∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD,∴ABAC=BECD,即1.61.6+12.4=1.2CD,∴CD=10.5m.故选B.4.C 根据题意可知BE=AE.设CE=x,则BE=AE=8-x.在Rt△BCE中,根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,解得x=74.∴tan∠CBE=CECB=746=724.故选C.5.A 设CD=x米,则AD=2x米,由勾股定理可得,AC=x2+(2x)2=5x米.∵AC=35米,12\n∴5x=35,∴x=3,即CD=3米,∴AD=2×3=6米.在Rt△ABD中,BD=102-62=8米,∴BC=8-3=5米.故选A.二、填空题6.答案 713解析 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,∴sinB=ACAB=713.7.答案 2.9解析 由题意可得:∵AM=4米,∠MAD=45°,∴DM=4米,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,∴MC=43≈6.92(米),CD=MC-4≈2.9米.8.答案 55解析 ∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,则sin∠BAC=BCAB=55.三、解答题9.解析 (1)∵关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,∴Δ=25sin2A-16=0,∴sin2A=1625,12\n∴sinA=±45,∵∠A为锐角,∴sinA=45.(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,则Δ≥0,∴100-4(k2-4k+29)≥0,∴-(k-2)2≥0,∴(k-2)2≤0,又∵(k-2)2≥0,∴k=2.把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,解得y1=y2=5,∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.分两种情况:①∠A是顶角时:如图1,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,∵sinA=45,∴AD=3,BD=4,∴DC=2,∴BC=25.∴△ABC的周长为10+25.②∠A是底角时:如图2,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5,∵sinA=45,∴AD=DC=3,∴AC=6.12\n∴△ABC的周长为16.综上,△ABC的周长为10+25或16.B组 提升题组一、选择题1.B 设ED=x,则AE=6-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC.由题意得:∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.由勾股定理得:BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得:x=154,∴ED=154.故选B.2.A ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵点E是边BC的中点,∴BE=12BC=12AD,∴△BEF∽△DAF,∴EFAF=BEAD,∴EF=12AF,∴EF=13AE,∵点E是边BC的中点,∴由矩形的对称性得:AE=DE,12\n∴EF=13DE,设EF=x,则DE=3x,∴DF=DE2-EF2=22x,∴tan∠BDE=EFDF=x22x=24.故选A.二、填空题3.答案 2103解析 将正方体展开,右边与后面的正方形及前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,∴MBAN=MCNC,即42=MCNC=2,即MC=2NC,∴CN=13MN=23,在Rt△ACN中,根据勾股定理得:AC=AN2+CN2=2103.4.答案 2321解析 过点B作DE⊥l2,交l1于D,交l3于E,如图,∵DE⊥l2,l1∥l2∥l3,∴DE⊥l1,DE⊥l3,∴∠ABD+∠DAB=90°,∠ADB=∠BEC=90°,又∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠EBC=90°,∴∠DAB=∠EBC,在△ABD和△BCE中,∠ADB=∠BEC,∠DAB=∠EBC,12\n∴△ABD∽△BCE,∴ECDB=EBDA=BCAB.在△ABC中,∠BAC=60°,tan∠BAC=BCAB=3,∴ECDB=EBDA=BCAB=3,∵DB=1,BE=2,∴EC=3,AD=233.在Rt△ABD中,AD=233,DB=1,∴AB2=73,EC=3,BE=2,在Rt△BCE中,∴BC2=7,∴AC2=BC2+AB2=7+73=283.∴AC=2321.三、解答题5.解析 (1)∵△CDQ≌△CPQ,∴DQ=PQ,PC=DC,∵AB=DC=5,AD=BC=3,∴PC=5,在Rt△PBC中,PB=PC2-BC2=4,∴PA=AB-PB=5-4=1,设AQ=x,则DQ=PQ=3-x,在Rt△PAQ中,(3-x)2=x2+12,解得x=43,∴AQ=43.(2)如图,过M作EF⊥CD于F,12\n则EF⊥AB,∵MD⊥MP,∴∠PMD=90°,∴∠PME+∠DMF=90°,∵∠FDM+∠DMF=90°,∴∠MDF=∠PME,∵M是QC的中点,∴DM=PM=12QC,在△MDF和△PME中,∠MDF=∠PME,∠DFM=∠MEP,DM=PM,∴△MDF≌△PME(AAS),∴DF=ME,MF=PE,∵EF⊥CD,AD⊥CD,∴EF∥AD,∵QM=MC,∴DF=CF=12DC=52,∴ME=52,∵ME是梯形ABCQ的中位线,∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,∴AQ=2.6.解析 过P点作PE⊥BC于E,过D点作DF⊥BC于F,∴DF=AB=8cm.FC=BC-AD=18-12=6cm.①当PQ⊥BC时,12\nBE+CE=18cm.即2t+t=18,∴t=6;②当QP⊥PC时,当P在DC边上时,可得PC=22-2t,QC=t,此时满足22-2tt=610,则t=11013.当P在AD边上时,CE=BC-2t=(18-2t)cm,PE=8cm,QE=t-CE=(3t-18)cm,易知PE2=QE·CE,∴64=(3t-18)(18-2t),无解.③当PC⊥BC时,因为∠DCB<90°,所以此种情形不存在.∴当t=6或11013时,△PQC是直角三角形.12
