第15讲 全等三角形与尺规作图A组 基础题组一、选择题1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.(2022河北)尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:12\n则正确的配对是( )A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—ⅢB.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—ⅠC.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—ⅠD.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ3.(2022浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( )4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )A.6B.4C.23D.55.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )A.6B.63C.9D.336.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( )A.②③B.②④C.①③④D.②③④12\n7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=12AC;③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题8.(2022德州)如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为 . 9.如图,AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动 分钟后△CAP与△PQB全等.10.(2022江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF= . 三、解答题11.(2022河北,23,9分)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;12\n(2)当MN=2BN时,求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.12.(2022泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.(1)求证:△ECG≌△GHD;(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.B组 提升题组 一、选择题1.(2022南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )12\nA.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:①BE=12GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.其中,正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BD平分∠ABC且与AC边交于点D,AD=2,则点D到边BC的距离是 . 12\n5.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB. 6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 . 三、解答题7.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:(1)DF=AE;(2)DF⊥AC.第15讲 全等三角形与尺规作图A组 基础题组一、选择题1.A 从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A.2.D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.12\n3.D A.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意.D.无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D.4.B ∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=AC=4.5.C 由垂直平分线的性质定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30°,∴AD平分∠BAC.∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6.∴BC=BD+CD=9.6.D 如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确.根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE,故④正确.故选D.7.D 在△ABD与△CBD中,AD=CD,AB=CB,DB=DB,∴△ABD≌△CBD(SSS),故③正确.∴∠ADB=∠CDB,在△AOD与△COD中,AD=CD,∠ADB=∠CDB,OD=OD,∴△AOD≌△COD(SAS),∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC=12AC,∴AC⊥BD,故①②正确.故选D.二、填空题8.答案 312\n解析 过C作CF⊥AO.∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,∴CM=CF.∵OC=5,OM=4,∴CM=3,∴CF=3.故答案为3.9.答案 4解析 ∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,∴∠A=∠B=90°,设运动x分钟后△CAP与△PQB全等,则BP=xm,BQ=2xm,AP=(12-x)m,分两种情况:①若BP=AC,则x=4,此时AP=12-4=8m,BQ=8m,∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ(SAS);②若BP=AP,则12-x=x,解得x=6,此时BQ=12m,BQ≠AC,∴△CAP与△PQB不全等.综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.10.答案 2解析 ∵D为AB的中点,AB=8,∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分别为AC,AD的中点,∴根据三角形中位线定理,得EF=2.三、解答题11.解析 (1)证明:∵P为AB中点,∴PA=PB.又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN,又∵MN=2BN,∴PN=BN,12\n∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.∵△BPN的外心在该三角形的内部,∴△BPN是锐角三角形,∴∠BPN和∠BNP都为锐角,又∵∠B=50°,∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.12.解析 (1)证明:∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA,∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.又∵DE⊥AC,∴FG⊥DE,又∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.(2)证明:过点G作GP⊥AB于点P,12\n∴GC=GP,∴△CAG≌△PAG,∴AC=AP.由(1)得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△GPD,∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形AEGF是菱形,理由如下:∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,∴AE=12AD,∴AE=AF=FG.由(1)得AE∥FG,∴四边形AEGF是菱形.B组 提升题组一、选择题1.D2.A 根据垂线的作法,选项A错误.故选A.3.B ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,∵AG=CE,∴BG=BE,由勾股定理得:BE=22GE,∴①错误;∵BG=BE,∠B=90°,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°,∴∠GAE+∠AEG=45°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,12\n∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中,AG=EC,∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF,∴②正确;∴∠AGE=∠ECF=135°,∴∠FCD=135°-90°=45°,∴③正确;∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,∴∠FEC<45°,∴△GBE和△ECH不相似,∴④错误.故选B.二、填空题4.答案 2解析 过D作DE⊥BC于E.∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴DE=AD=2.故点D到边BC的距离为2.5.答案 AH=CB(或EH=EB或AE=CE)解析 ∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90°,∴∠B+∠BCE=90°,∠B+∠BAD=90°,∴∠BCE=∠BAD,∴AH=CB或EH=EB或AE=CE,可证△AEH≌△CEB.6.答案 72解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,∴CF=1212\nDE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18.又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=132-52=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=12BE=72.三、解答题7.证明 (1)延长DE交AB于点G,连接AD.∵四边形BCDE是平行四边形,∴ED∥BC,ED=BC.∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,∴AG=BG,DG⊥AB.∴AD=BD,∴∠BAD=∠ABD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.又BF=BC,∴BF=DE.∴在△AED与△DFB中,AD=BD,∠ADE=∠DBF,ED=FB,∴△AED≌△DFB(SAS),∴AE=DF,即DF=AE.(2)设AC与FD交于点O.∵由(1)知,△AED≌△DFB,∴∠AED=∠DFB,∴∠DEO=∠DFG.∵∠DFG+∠FDG=90°,∴∠DEO+∠EDO=90°,∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.12
